Question

【題目】在如圖所示的六面體中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，四邊形ABEF是梯形，，平面平面ABEF，BE＝2AF=2，EF.

（1）在圖中作出平面ABCD與平面DEF的交線，并寫出作圖步驟，但不要求證明；

（2）求證：平面DEF；

（3）求平面ABEF與平面ECD所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）延長(zhǎng)BA與EF相交于點(diǎn)P,連接PD，則直線PD就是平面ABCD與平面DEF的交線;

（2）證明四邊形ACDP是平行四邊形，可得，由線面平行的判定定理可得平面DEF；

（3）在平面ABEF內(nèi)，過點(diǎn)A作FE的平行線交BE于點(diǎn)G，可得為直角三角形，

在平面ABEF內(nèi)，過點(diǎn)A作AB的垂線交EF于點(diǎn)H，可得面ABCD，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的方向?yàn)?/span>x軸正方向，AB的方向?yàn)?/span>y軸正方向，AH的方向?yàn)?/span>z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可得平面ABEF與平面ECD所成銳二面角的余弦值.

解：（1）延長(zhǎng)BA與EF相交于點(diǎn)P,連接PD，則直線PD就是平面ABCD與平面DEF的交線;

（2）因?yàn)?/span>，所以AF是的中位線，故，

因?yàn)?/span>，所以，且，

所以四邊形ACDP是平行四邊形，所以，

因?yàn)?/span>面DEF，面DEF，

所以平面DEF

（3）在平面ABEF內(nèi)，過點(diǎn)A作FE的平行線交BE于點(diǎn)G，又，所以四邊形AGEF為平行四邊形，

所以，

又因?yàn)?/span>，所以，

所以為直角三角形，

且

在平面ABEF內(nèi)，過點(diǎn)A作AB的垂線交EF于點(diǎn)H，

又因?yàn)槠矫?/span>平面ABEF，平面平面，

所以面ABCD.

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的方向?yàn)?/span>x軸正方向，AB的方向?yàn)?/span>y軸正方向，AH的方向?yàn)?/span>z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

則，所以，

設(shè)是平面ECD的法向量，

則，即，所以可取.

因?yàn)?/span>是平面ABEF的法向量，

所以，

所以平面ABEF與平面ECD所成銳二面角的余弦值.