【題目】如圖,已知平行四邊形ABCD中,AB=1,BC=2,∠CBA= ,ABEF為直角梯形,BE∥AF,∠BAF= ,BE=2,AF=3,平面ABCD⊥平面ABEF.

(1)求證:AC⊥平面ABEF;
(2)求平面ABCD與平面DEF所成銳二面角的余弦值.

【答案】
(1)證明:∵AB=1,BC=2,∠CBA= ,

∴AC2=AB2+BC2﹣2ABBCcos =1+4﹣2×2×1× =3,

則AC= ,滿足BC2=AB2+AC2

即△CAB是直角三角形,

則AC⊥AB,

∵平面ABCD⊥平面ABEF,AC平面ABCD,

∴AC⊥平面ABEF;


(2)解:建立以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AF,AC分別為x,y,z軸的空間直角坐標(biāo)系如圖:∵BE=2,AF=3,

∴C(0,0, ),B(1,0,0),E(1,2,0),F(xiàn)(0,3,0),D(﹣1,0, ),

則平面ABCD的一個(gè)法向量為 =(0,1,0),

設(shè)平面DEF的一個(gè)法向量為 =(x,y,z),

=(1.3.﹣ ), =(﹣1,1,0),

,

令x= ,則y= ,z=4,即 =( , ,4),

則cos< , >= = = ,

即平面ABCD與平面DEF所成銳二面角的余弦值是


【解析】(1)根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明AC⊥平面ABEF;(2)建立空間坐標(biāo)系,利用向量法求出平面的法向量,利用向量法進(jìn)行求解即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A型車

出租天數(shù)

1

2

3

4

5

6

7

車輛數(shù)

5

10

30

35

15

3

2

B型車

出租天數(shù)

1

2

3

4

5

6

7

車輛數(shù)

14

20

20

16

15

10

5


(1)從出租天數(shù)為3天的汽車(僅限A,B兩種車型)中隨機(jī)抽取一輛,估計(jì)這輛汽車恰好是A型車的概率;
(2)根據(jù)這個(gè)星期的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),估計(jì)該公司一輛A型車,一輛B型車一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天的概率;
(3)如果兩種車型每輛車每天出租獲得的利潤(rùn)相同,該公司需要從A,B兩種車型中購(gòu)買一輛,請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí),給出建議應(yīng)該購(gòu)買哪一種車型,并說(shuō)明你的理由.

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