【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離比到定直線的距離小.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)任意作互相垂直的兩條直線，，分別交曲線于點(diǎn)，和，.設(shè)線段，的中點(diǎn)分別為，，求證：直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；

（3）在（2）的條件下，求面積的最小值.

【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析（3）

【解析】

（1）由題意可知：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離，由此利用拋物線的定義能求出點(diǎn)的軌跡的方程．

（2）設(shè) 兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為 ，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．由題意可設(shè)直線的方程為，，由，得．由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、直線的斜率、直線方程，結(jié)合已知條件能證明直線恒過(guò)定點(diǎn)．

（3）求出，利用基本不等式能求出三角形面積的最小值．

解：(1)由題意可知：動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離.根據(jù)拋物線的定義可知，點(diǎn)的軌跡是拋物線.

，拋物線方程為：

(2)設(shè)，兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.

由題意可設(shè)直線的方程為.

由，得.

.

因?yàn)橹本�與曲線于，兩點(diǎn)，所以，.

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.由題知，直線的斜率為，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)為.

當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)直線的斜率.

所以，直線的方程為，整理得.

于是，直線恒過(guò)定點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，直線的方程為，也過(guò)點(diǎn).

綜上所述，直線恒過(guò)定點(diǎn).

(3)可求得.所以面積.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“”成立，所以面積的最小值為.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.B.C.D.

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（1）求橢圓的方程與離心率；

（2）過(guò)點(diǎn)做直線與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)；若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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（Ⅱ）現(xiàn)從分?jǐn)?shù)在之間的試卷中任取 3 份分析學(xué)生情況，設(shè)抽取的試卷分?jǐn)?shù)在的份數(shù)為 ，求的分布列和數(shù)學(xué)望期．

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（1）證明：；

（2）若的外接圓與拋物線有四個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線的斜率的取值范圍．

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.

（1）證明： ；

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A.B.C.D.16

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