Question

如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上．
（1）求證：平面AECM⊥平面PDB．
（2）若E是PB的中點(diǎn)，且AE與平面PBD所成的角為45°時(shí)，求二面角B-AE-D大小的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出PD⊥AC，AC⊥BD，由此能證明AC⊥面PBD，從而得到面EAC⊥面PBD．
（2）以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-AE-D的余弦值．

解答： （1）證明：∵PD⊥面ABCD，∴PD⊥AC
又∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
∴AC⊥面PBD，
又AC?面EAC，
∴面EAC⊥面PBD．
（2）解：由（1）知AO⊥面PBD，OE是AE在面PBD上的射影，
∴∠AEO是AE與面PBD所成的角，
∵AE與平面PBD所成的角為45°，∴∠AEO=45°．
設(shè)AB=2，則AO=OE=

2

，OP=2

2

．
以D為原點(diǎn)，DA，DC，DP分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則B（2，2，0），A（2，0，0），
E（1，1，

2

），D（0，0，0），
∴

AB

=(0，2，0)，

AE

=(-1，1，

2

)，

DA

=(2，0，0)，

DE

=(1，1，

2

)，
設(shè)面BAE的法向量

m

=(x，y，z)，
則

m • AB =2y=0 m • AE =-x+y+ 2 z=0

，
取x=

2

，得

m

=(

2

，0，1)，
設(shè)面DAE的法向量

n

=(a，b，c)，
則

n • DA =2a=0 n • DE =a+b+ 2 c=0

，
取b=

2

，得

n

=(0，

2

，-1)，
∴cos＜

m

，

n

＞=-

1

3

，
∴二面角B-AE-D的余弦值為-

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．