四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,CDAB,AB=4,CD=1,點M在PB上,且MB=3PM,PB與平面ABC成30°角.
(1)求證:CM面PAD;
(2)求證:面PAB⊥面PAD;
(3)求點C到平面PAD的距離.
如圖,建立空間直角坐標系O-xyz,C為坐標原點O,
(1)證明:如圖,建立空間直角坐標系.
∵PC⊥平面ABCD,
∴∠PBC為PB與平面ABC所成的角,即∠PBC=30°.
∵|PC|=2,∴|BC|=2
3
,|PB|=4.
得D(1,0,0)、B(0,2
3
,0)、
A(4,2
3
,0)、P(0,0,2).
∵|MB|=3|PM|,
∴|PM|=1,M(0,
3
2
,
3
2
),
CM
=(0,
3
2
,
3
2
),
DP
=(-1,0,2),
DA
=(3,2
3
,0).
CM
=x
DP
+y
DA
(x、y∈R),
則(0,
3
2
,
3
2
)=x(-1,0,2)+y(3,2
3
,0)⇒x=
3
4
且y=
1
4
,
CM
=
3
4
DP
+
1
4
DA

CM
、
DP
DA
共面.又∵C∉平面PAD,故CM平面PAD.
(2)證明:過B作BE⊥PA,E為垂足.
∵|PB|=|AB|=4,∴E為PA的中點.
∴E(2,
3
,1),
BE
=(2,-
3
,1).
又∵
BE
DA
=(2,-
3
,1)•(3,2
3
,0)=0,
BE
DA
,即BE⊥DA.
而BE⊥PA,∴BE⊥面PAD.
∵BE?面PAB,∴面PAB⊥面PAD.
(3)由BE⊥面PAD知,
平面PAD的單位向量n0=
BE
|
BE
|
=
1
2
2
(2,-
3
,1).
∴CD=(1,0,0)的點C到平面PAD的距離
d=|n0
CD
|=|
1
2
2
(2,-
3
,1)•(1,0,0)|=
2
2

練習冊系列答案
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2
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2
,BD⊥CD,將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體A'-BCD,使平面A'BD⊥平面BCD,則下列結論正確的是( 。
A.A'C⊥BD
B.∠BA'C=90°
C.△A'DC是正三角形
D.四面體A'-BCD的體積為
1
3

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