Question

【題目】如圖，已知曲線，曲線，P是平面上一點(diǎn)，若存在過(guò)點(diǎn)P的直線與都有公共點(diǎn)，則稱P為“型點(diǎn)”.

（1）若，時(shí)，判斷的左焦點(diǎn)是否為“型點(diǎn)”，并說(shuō)明理由；

（2）設(shè)直線與有公共點(diǎn)，求證，進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“型點(diǎn)”；

（3）若圓內(nèi)的任意一點(diǎn)都不是“型點(diǎn)”，試寫(xiě)出a、b滿足的關(guān)系式，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）是，見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3），見(jiàn)解析

【解析】

（1）由雙曲線方程可知，雙曲線的左焦點(diǎn)為（，0），存在直線x分別求得交點(diǎn)坐標(biāo)，即可說(shuō)明；

（2）由直線y＝kx與C2有公共點(diǎn)聯(lián)立方程組有實(shí)數(shù)解得到|k|＞1，分過(guò)原點(diǎn)的直線斜率不存在和斜率存在兩種情況說(shuō)明過(guò)原點(diǎn)的直線不可能同時(shí)與C1和C2有公共點(diǎn)；

（3）先考慮圓內(nèi)存在過(guò)Q的直線l與C1，C2都有公共點(diǎn)時(shí)的條件，由給出的圓的方程得到圓的圖形夾在直線y＝x±1與y＝﹣x±1之間，進(jìn)而說(shuō)明當(dāng)|k|＞1時(shí)，過(guò)圓內(nèi)的點(diǎn)且斜率為k的直線與C2有公共點(diǎn)，再由圓心到直線的距離小于半徑列式得出k的范圍，從而得到，再取補(bǔ)集即可．

（1）C1的左焦點(diǎn)為（，0），存在直線x時(shí)，

與雙曲線C1的交點(diǎn)為（，±），與曲線C2交點(diǎn)為（，±（1）），

則C1的左焦點(diǎn)是“C1﹣C2型點(diǎn)”；

（2）因?yàn)橹本�y＝kx與C2有公共點(diǎn)，

所以方程組有實(shí)數(shù)解，因此|kx|＝|x|+1，得|k|1．

若原點(diǎn)是“C1﹣C2型點(diǎn)”，則存在過(guò)原點(diǎn)的直線與C1、C2都有公共點(diǎn)．

考慮過(guò)原點(diǎn)與C2有公共點(diǎn)的直線x＝0或y＝kx（|k|＞1）．

顯然直線x＝0與C1無(wú)公共點(diǎn)．

如果直線為y＝kx（|k|＞1），則由方程組，得x2，矛盾．

所以直線y＝kx（|k|＞1）與C1也無(wú)公共點(diǎn)．

因此原點(diǎn)不是“C1﹣C2型點(diǎn)”．

（3）記圓，取圓O內(nèi)的一點(diǎn)Q，

由題意圓內(nèi)的任意一點(diǎn)都不是“型點(diǎn)”的反面是存在過(guò)Q的直線l與C1，C2都有公共點(diǎn)，

顯然l不與x軸垂直，

故可設(shè)l：y＝kx+t．

若|k|≤1，由于圓O夾在兩組平行線y＝x±1與y＝﹣x±1之間，因此圓O也夾在直線y＝kx±1與y＝﹣kx±1之間，

從而過(guò)Q且以k為斜率的直線l與C2無(wú)公共點(diǎn)，矛盾，所以|k|＞1．

因?yàn)?/span>l與C1有公共點(diǎn)，所以方程組有實(shí)數(shù)解，

得（﹣k2）x2﹣ktx﹣t2﹣＝0．

因?yàn)?/span>|k|＞1，且所以﹣k2≠0，

因此△＝（kt）2﹣4（﹣k2）（﹣t2﹣）≥0，

即t2k2﹣．

因?yàn)閳AO的圓心（0，0）到直線l的距離，

所以，從而k2﹣，得>k2﹣，

k2恒成立，

又k2∴當(dāng)時(shí)，即時(shí)，

圓內(nèi)存在過(guò)Q的直線l與C1，C2都有公共點(diǎn)，

因此，圓內(nèi)的任意一點(diǎn)都不是“型點(diǎn)”，

則需．