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【題目】已知為坐標原點，橢圓的右焦點為，離心率為，過點的直線與相交于兩點，點為線段的中點.

（1）當的傾斜角為時，求直線的方程；

（2）試探究在軸上是否存在定點，使得為定值？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）（2）存在；定點

【解析】

（1）由題得，解得，由，得，可得橢圓方程,與直線方程聯立，利用韋達定理求出中點坐標，進而可得直線的方程；（2）直線的斜率不為0時，設，直線的方程為，與橢圓方程聯立，利用韋達定理，結合平面向量數量積公式可得在x軸上存在定點，使得為定值，再驗證直線的斜率為0的情況即可.

（1）由題得，解得，由，得，故橢圓方程為，

設，易知直線的方程為，由，得，

于是，

從而，故，

所以直線的方程為.

（2）①當直線的斜率不為0時，設，直線的方程為，

由，得，所以

所以

，

由，得，故此時點，；

②當直線的斜率為0時，.

綜上，在x軸上存在定點，使得為定值.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知橢圓過點，，分別為橢圓的右下頂點，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）設點在橢圓內，滿足直線，的斜率乘積為，且直線，分別交橢圓于點，.

①若，關于軸對稱，求直線的斜率；

②若和的面積分別為，求.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某地區(qū)進行疾病普查，為此要檢驗每一人的血液，如果當地有人，若逐個檢驗就需要檢驗次，為了減少檢驗的工作量，我們把受檢驗者分組，假設每組有個人，把這個個人的血液混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，這個人的血液全為陰性，因而這個人只要檢驗一次就夠了，如果為陽性，為了明確這個個人中究竟是哪幾個人為陽性，就要對這個人再逐個進行檢驗，這時個人的檢驗次數為次.假設在接受檢驗的人群中，每個人的檢驗結果是陽性還是陰性是獨立的，且每個人是陽性結果的概率為.

（Ⅰ）為熟悉檢驗流程，先對3個人進行逐個檢驗，若，求3人中恰好有1人檢測結果為陽性的概率；

（Ⅱ）設為個人一組混合檢驗時每個人的血需要檢驗的次數.

①當，時，求的分布列；

②是運用統計概率的相關知識，求當和滿足什么關系時，用分組的辦法能減少檢驗次數.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某公司甲、乙兩個班組分別試生產同一種規(guī)格的產品，已知此種產品的質量指標檢測分數不小于70時，該產品為合格品，否則為次品，現隨機抽取兩個班組生產的此種產品各100件進行檢測，其結果如下表：

質量指標檢測分數

[50，60）

[60，70）

[70，80）

[80，90）

[90，100]

甲班組生產的產品件數

7

18

40

29

6

乙班組生產的產品件數

8

12

40

32

8

（1）根據表中數據，估計甲、乙兩個班組生產該種產品各自的不合格率；

（2）根據以上數據，完成下面的2×2列聯表，并判斷是否有95％的把握認為該種產品的質量與生產產品的班組有關？

甲班組

乙班組

合計

合格品

次品

合計

（3）若按合格與不合格比例，從甲班組生產的產品中抽取4件產品，從乙班組生產的產品中抽取5件產品，記事件A：從上面4件甲班組生產的產品中隨機抽取2件，且都是合格品；事件B：從上面5件乙班組生產的產品中隨機抽取2件，一件是合格品，一件是次品，試估計這兩個事件哪一種情況發(fā)生的可能性大．

附：

P（K2≥k）

0.050

0.010

0.001

k

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點為F，過F作直線交拋物線C于A，B兩點，過A，B分別作拋物線C的切線，兩條切線交于點P.

（1）若P的坐標為，求直線的斜率；

（2）若P始終不在橢圓的內部（不包括邊界），求外接圓面積的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司底薪70元，每單抽成2元；乙公司無底薪，40單以內（含40單）的部分每單抽成4元，超出40單的部分每單抽成6元.假設同一公司的送餐員一天的送餐單數相同，現從兩家公司各隨機抽取一名送餐員，并分別記錄其100天的送餐單數，得到如下頻數表：

甲公司送餐員送餐單數頻數表

送餐單數

38

39

40

41

42

天數

20

40

20

10

10

乙公司送餐員送餐單數頻數表

送餐單數

38

39

40

41

42

天數

10

20

20

40

10

（1）現從甲公司記錄的這100天中隨機抽取兩天，求這兩天送餐單數都大于40的概率；

（2）若將頻率視為概率，回答以下問題：

（i）記乙公司送餐員日工資為（單位：元），求的分布列和數學期望；

（ii）小明擬到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，請利用所學的統計學知識為他作出選擇，并說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】上世紀末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國古代高超的音律藝術及先進的數學水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯系.圖2為骨笛測量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某骨笛的部分測量數據（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當日正午太陽光線）與春秋分日光（當日正午太陽光線）的夾角等于黃赤交角.

由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應的年代如下表：

黃赤交角

正切值

0.439

0.444

0.450

0.455

0.461

年代

公元元年

公元前2000年

公元前4000年

公元前6000年

公元前8000年

根據以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是( )

A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，是邊長為4的正方形，平面，分別為的中點.

（1）證明：平面.

（2）若，求二面角的正弦值.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】下圖是某機械零件的幾何結構，該幾何體是由兩個相同的直四棱柱組合而成的，且前后，左右、上下均對稱，每個四棱柱的底面都是邊長為2的正方形，高為4，且兩個四棱柱的側棱互相垂直.則這個幾何體的體積為________.

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