【題目】已知函數(shù).
(1)若恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)求證:時(shí),.
【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)通過(guò)換元法,將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立,其中.構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性,結(jié)合三種情況進(jìn)行分類討論,由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
(2)利用分析法,將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明,結(jié)合(1)的結(jié)論以及基本不等式,證得上述不等式成立.
(1).
記,原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立,其中.
令,則,
記,則.
①當(dāng)時(shí),注意到,故恒成立,從而.
于是,函數(shù)在上單調(diào)減,,符合題意;
②當(dāng)時(shí),考慮時(shí),恒成立,即函數(shù)在上單調(diào)增,所以,時(shí),,不符合題意,舍去.
③當(dāng)時(shí),,,不符合題意,舍去.
綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
(2).
由(1)的過(guò)程知,即.
故要證,只需證(*).
事實(shí)上,由(1)的結(jié)論知,當(dāng)時(shí),恒成立,即時(shí),,而,即(*)成立,
等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到,故原不等式獲證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為,其焦距為,點(diǎn)在橢圓上,,直線的斜率為(為半焦距)·
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)圓的切線交橢圓于兩點(diǎn)(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求證:;
(3)在(2)的條件下,求的最大值
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年4月10日21時(shí)整,全球六地(上海和臺(tái)北、布魯塞爾、圣地亞哥、東京和華盛頓同時(shí)召開(kāi)新聞發(fā)布會(huì),宣布人類首次利用虛擬射電望遠(yuǎn)鏡,成功捕獲世界上首張黑洞圖像,公布的照片展示了一個(gè)中心為黑色的明亮環(huán)狀結(jié)構(gòu),看上去有點(diǎn)像個(gè)橙色的甜甜圈,其黑色部分是黑洞投下的“陰影”,明亮部分是繞黑洞高速旋轉(zhuǎn)的吸積盤.某同學(xué)作了一張黑洞示意圖,如圖所示,由兩個(gè)同心圓和半個(gè)同心圓環(huán)構(gòu)成圓及圓環(huán)的半徑從內(nèi)到外依次為2,3,4,5個(gè)單位在圖中隨機(jī)任取一點(diǎn),則該點(diǎn)取自陰影的概率為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2020年春,新型冠狀病毒在我國(guó)湖北武漢爆發(fā)并訊速蔓延,病毒傳染性強(qiáng)并嚴(yán)重危害人民生命安全,國(guó)家衛(wèi)健委果斷要求全體人民自我居家隔離,為支援湖北武漢新型冠狀病毒疫情防控工作,各地醫(yī)護(hù)人員紛紛逆行,才使得病毒蔓延得到了有效控制.某社區(qū)為保障居民的生活不受影響,由社區(qū)志愿者為其配送蔬菜、大米等生活用品,記者隨機(jī)抽查了男、女居民各100名對(duì)志愿者所買生活用品滿意度的評(píng)價(jià),得到下面的2×2列聯(lián)表.
特別滿意 | 基本滿意 | |
男 | 80 | 20 |
女 | 95 | 5 |
(1)被調(diào)查的男性居民中有5個(gè)年輕人,其中有2名對(duì)志愿者所買生活用品特別滿意,現(xiàn)在這5名年輕人中隨機(jī)抽取3人,求至多有1人特別滿意的概率.
(2)能否有99%的把握認(rèn)為男、女居民對(duì)志愿者所買生活用品的評(píng)價(jià)有差異?
附:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù)的部分圖象如圖所示
(1)求的最小正周期及解析式;
(2)設(shè)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,底面為平行四邊形,點(diǎn)在面內(nèi)的射影為,,點(diǎn)到平面的距離為,且直線與垂直.
(Ⅰ)在棱上找一點(diǎn),使直線與平面平行,并說(shuō)明理由;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的條件下,求二面角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓錐的頂點(diǎn)為A,高和底面的半徑相等,BE是底面圓的一條直徑,點(diǎn)D為底面圓周上的一點(diǎn),且∠ABD=60°,則異面直線AB與DE所成角的正弦值為( )
A.B.C.D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)),以原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸非負(fù)半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線C2的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程以及曲線C2的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l:y=kx與曲線C1、曲線C2在第一象限交于P、Q,且|OQ|=|PQ|,點(diǎn)M的直角坐標(biāo)為(1,0),求△PMQ的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》中“勾股容方”問(wèn)題:“今有勾五步,股十二步,問(wèn)勾中容方幾何?”魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在其《九章算術(shù)注》中利用出入相補(bǔ)原理給出了這個(gè)問(wèn)題的一般解法:如圖1,用對(duì)角線將長(zhǎng)和寬分別為和的矩形分成兩個(gè)直角三角形,每個(gè)直角三角形再分成一個(gè)內(nèi)接正方形(黃)和兩個(gè)小直角三角形(朱、青).將三種顏色的圖形進(jìn)行重組,得到如圖2所示的矩形.該矩形長(zhǎng)為,寬為內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng).由劉徽構(gòu)造的圖形還可以得到許多重要的結(jié)論,如圖3.設(shè)為斜邊的中點(diǎn),作直角三角形的內(nèi)接正方形對(duì)角線,過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn),則下列推理正確的是( )
①由圖1和圖2面積相等得;
②由可得;
③由可得;
④由可得.
A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③
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