Question

【題目】為拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn)，的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，動點(diǎn)滿足．

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求出F，E的坐標(biāo)，設(shè)l方程為x﹣my﹣1=0，聯(lián)立方程組消元，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出AB中點(diǎn)坐標(biāo)，由向量加法的幾何意義可知AB的中點(diǎn)也是EP的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出P的軌跡關(guān)于m的參數(shù)方程，轉(zhuǎn)化為普通方程即可；

（2）利用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算|AB|，E到l的距離d，得出S關(guān)于m的函數(shù)，求出S取得最小值時(shí)的m，代入x﹣my﹣1=0得出l的方程．

（1）拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），∴E（﹣1，0）．

設(shè)直線l的方程為x﹣my﹣1=0．

聯(lián)立方程組，消元得：y2﹣4my﹣4=0．

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），則y1+y2=4m，x1+x2=m（y1+y2）+2=4m2+2．

∴AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為M（2m2+1，2m）．

∵=+=2，∴M為EP的中點(diǎn)．

∴，∴，即y2=4x﹣12．

∴點(diǎn)P的軌跡方程為y2=4x﹣12．

（2）由（I）得y1+y2=4m，y1y2=﹣4．

∴|AB|===4（m2+1）．

E到直線l：x﹣my﹣1=0的距離d=，

∴S△ABE=|AB|d=4，

∵=+，∴四邊形EAPB是平行四邊形，

∴平行四邊形EAPB的面積S=2S△ABE=8．

∴當(dāng)m=0時(shí)，S取得最小值8．

此時(shí)直線l的方程為x﹣1=0．