【題目】已知函數(shù),函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù).

求函數(shù)的解析式,并寫出定義域;

設(shè),判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性:

中的函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖像是不間斷的光滑曲線,求證:函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有唯一的零點(diǎn)(假設(shè)為),且.

【答案】(1);;

(2)在區(qū)間上是減函數(shù),證明見解析;

(3)證明見解析.

【解析】

1)根據(jù)得出,此范圍就是其反函數(shù)的定義域,再由,可解得,,再將互換得,從而得函數(shù)的解析式;

2)設(shè),則,,可得,可得證;

3)先判斷函數(shù)的奇偶性,再由(2)得出在上的單調(diào)性,根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得證.

,,

,,

,得,互換得,

,定義域

在區(qū)間上的單調(diào)遞減,證明如下:

(1)可知,,且定義域?yàn)?/span>

設(shè),則,

,,

,即

在區(qū)間上是減函數(shù);

對任意,有,

所以,函數(shù)是奇函數(shù),

由(2)得在區(qū)間上是減函數(shù),所以函數(shù)上單調(diào)遞減,且在上的圖像也是不間斷的光滑曲線,

,

所以,根據(jù)零點(diǎn)存在定理得:函數(shù)在區(qū)間上有且僅有唯一零點(diǎn),

所以,函數(shù)在區(qū)間上有且僅有唯一零點(diǎn),且.

故得解.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,短軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為,點(diǎn)在橢圓上,且滿足,當(dāng)變化時(shí),給出下列三個(gè)命題:

①點(diǎn)的軌跡關(guān)于軸對稱;②的最小值為2;

③存在使得橢圓上滿足條件的點(diǎn)僅有兩個(gè),

其中,所有正確命題的序號是__________

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【題目】為了了解學(xué)生考試時(shí)的緊張程度,現(xiàn)對100名同學(xué)進(jìn)行評估,打分區(qū)間為,得到頻率分布直方圖如下,其中成等差數(shù)列,且.

(1)求的值;

(2)現(xiàn)采用分層抽樣的方式從緊張度值在,中共抽取5名同學(xué),再從這5名同學(xué)中隨機(jī)抽取2人,求至少有一名同學(xué)是緊張度值在的概率.

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【題目】已知函數(shù),

(1)若,,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

(2)設(shè)

(i)若函數(shù)有極值,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(ii)若(),求證:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某校有17名學(xué)生參加某大學(xué)組織的夏令營活動(dòng),每人至少參加地學(xué)、考古、信息科學(xué)三科夏令營活動(dòng)中的一科,已知其中參加地學(xué)夏令營活動(dòng)的有11人,參加考古夏令營活動(dòng)的有7人,參加信息科學(xué)夏令營活動(dòng)的有9人,同時(shí)參加地學(xué)和考古夏令營活動(dòng)的有4人,同時(shí)參加地學(xué)和信息科學(xué)夏令營活動(dòng)的有5人,同時(shí)參加考古和信息科學(xué)夏令營活動(dòng)的有3人,則三科夏令營活動(dòng)都參加的人數(shù)是_______.

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【題目】如圖四邊形,,,,,,分別在,,,現(xiàn)將四邊形沿折起,使平面平面.

(Ⅰ)若,在折疊后的線段上是否存在一點(diǎn),使得平面?若存在,求出的值;若不存在說明理由;

(Ⅱ)求三棱錐的體積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】設(shè)為奇函數(shù),為常數(shù).

1)求證:上的增函數(shù);

2)若對于區(qū)間上的每一個(gè)值,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)取值范圍.

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【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線與直線交于兩點(diǎn).

1)當(dāng)時(shí),求的面積的取值范圍.

2軸上是否存在點(diǎn),使得當(dāng)變動(dòng)時(shí),總有?若存在,求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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【題目】某城市的街道是相互垂直或平行的,如果按照街道垂直和平行的方向建立平面直角坐標(biāo)系,對兩點(diǎn),用以下方式定義兩點(diǎn)間距離:.如圖,學(xué)校在點(diǎn)處,商店在點(diǎn),小明家在點(diǎn)處,某日放學(xué)后,小明沿道路從學(xué)校勻速步行到商店,已知小明的速度是每分鐘1個(gè)單位長度,設(shè)步行分鐘時(shí),小明與家的距離為個(gè)單位長度.

1)求關(guān)于的解析式;

2)做出中函數(shù)的圖象,并求小明離家的距離不大于7個(gè)單位長度的總時(shí)長.

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