已知函數(shù)在處取得極小值2.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)求函數(shù)的極值;
(3)設(shè)函數(shù),若對于任意,總存在,使得,求實數(shù)的取值范圍.
(1)
(2)當(dāng)時,函數(shù)有極小值-2;當(dāng)時,函數(shù)有極大值2
(3)
【解析】
試題分析:(1)∵函數(shù)在處取得極小值2,
∴, ……1分
又,
∴
由②式得m=0或n=1,但m=0顯然不合題意,
∴,代入①式得m=4
∴ ……2分
經(jīng)檢驗,當(dāng)時,函數(shù)在處取得極小值2, ……3分
∴函數(shù)的解析式為. ……4分
(2)∵函數(shù)的定義域為且由(1)有,
令,解得: , ……5分
∴當(dāng)x變化時,的變化情況如下表: ……7分
x |
-1 |
1 |
|||
— |
0 |
+ |
0 |
— |
|
減 |
極小值-2 |
增 |
極大值2 |
減 |
∴當(dāng)時,函數(shù)有極小值-2;當(dāng)時,函數(shù)有極大值2, ……8分
(3)依題意只需即可.
∵函數(shù)在時,;在時,且,
∴ 由(2)知函數(shù)的大致圖象如圖所示:
∴當(dāng)時,函數(shù)有最小值-2, ……9分
又對任意,總存在,使得,
∴當(dāng)時,的最小值不大于-2, ……10分
又
①當(dāng)時,的最小值為,
∴得; ……11分
②當(dāng)時,的最小值為
∴得; ……12分
③當(dāng)時,的最小值為
∴得或
又∵
∴此時a不存在, ……13分
綜上所述,a的取值范圍是. ……14分
考點(diǎn):本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用.
點(diǎn)評:導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)(尤其是單調(diào)性、極值、最值等)的有力工具,要靈活應(yīng)用.求函數(shù)的極值時,要先求導(dǎo)數(shù)再求極值點(diǎn),這是最好列出表格,清楚直觀,求函數(shù)的最值時,一般要涉及到分類討論,分類討論時要做到分類標(biāo)準(zhǔn)不重不漏.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年安徽省合肥市高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)在處取得極小值.
(1)若函數(shù)的極小值是,求;
(2)若函數(shù)的極小值不小于,問:是否存在實數(shù),使得函數(shù)在上單調(diào)遞減?若存在,求出的范圍;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年江西省高三最后一次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
已知函數(shù)在處取得極小值.
(1)求的值;
(2)若在處的切線方程為,求證:當(dāng)時,曲線不可能在直線的下方.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
已知函數(shù)在處取得極小值.
(Ⅰ)若函數(shù)的極小值是,求;
(Ⅱ)若函數(shù)的極小值不小于,問:是否存在實數(shù)k,使得函數(shù)在上單調(diào)遞減.若存在,求出k的范圍;若不存在,說明理由.
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