設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值；
（2）令其圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）當(dāng)，，方程有唯一實(shí)數(shù)解，求正數(shù)的值.

（1）函數(shù)的最大值為；（2）實(shí)數(shù)的取值范圍是；（3）.

解析試題分析：（1）將代入函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值；（2）先求出函數(shù)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)將問題轉(zhuǎn)化為對任意恒成立的問題來處理，利用二次函數(shù)的最值的求法求的最大值，從而得到實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為函數(shù)在定義域上只有一個(gè)零點(diǎn)來處理，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性，利用極值與最值的關(guān)系求出正數(shù)的值.
試題解析：（1）依題意，知的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/86/1/1akek3.png" style="vertical-align:middle;" />，
當(dāng)時(shí)，，      2分
令，解得
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/fb/4/h6pk21.png" style="vertical-align:middle;" />有唯一解，所以，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減。
所以的極大值為，此即為最大值        4分
（2），則有在上恒成立，
∴≥，             
當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以≥     8分
（3）因?yàn)榉匠?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5a/1/wjhkm2.png" style="vertical-align:middle;" />有唯一實(shí)數(shù)解，所以有唯一實(shí)數(shù)解，
設(shè)，則令，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4e/f/odjtf.png" style="vertical-align:middle;" />所以（舍去），，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，取最小值.     10分
則 即 
所以因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/77/6/1zpkx3.png" style="vertical-align:middle;" />所以     12分
設(shè)函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，是增函數(shù)，所以至多有一解.
∵，∴方程(*)的解為，即，解得

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)和是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，其中，．
(Ⅰ) 求的取值范圍；
(Ⅱ) 若，求的最大值（e是自然對數(shù)的底數(shù)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(1設(shè)
(1)當(dāng)時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

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已知函數(shù)f（x）=alnx+（a≠0）在（0，）內(nèi)有極值．
（I）求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（II）若x1∈（0，），x2∈（2，+∞）且a∈[，2]時(shí)，求證：f（x1）﹣f（x2）≥ln2+．

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已知函數(shù)，其中，為參數(shù)，且．
(1)當(dāng)時(shí)，判斷函數(shù)是否有極值；
(2)要使函數(shù)的極小值大于零，求參數(shù)的取值范圍；
(3)若對(2)中所求的取值范圍內(nèi)的任意參數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)都是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為．
⑴求函數(shù)的解析式；
⑵若對于區(qū)間上任意兩個(gè)自變量的值都有，求實(shí)數(shù)的最小值；
⑶若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知，其中為常數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為1時(shí)，求函數(shù)在上的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)在上既有極大值又有極小值，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，過點(diǎn)作函數(shù)圖象的切線，試問這樣的切線有幾條？并求這些切線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

設(shè)函數(shù).
(I)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(II) 若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知函數(shù)，其中為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，且在區(qū)間上的最大值為，求的值；
（3）當(dāng)時(shí)，試證明：.

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