Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點為F，直線l：y=kx+d不過點F，且與雙曲線的右支交于點P、Q，若∠PFQ的外角平分線與l交于點A，則點A的橫坐標為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：運用雙曲線的第二定義可得焦半徑公式，可得|PF|，|QF|，利用外角平分線性質(zhì)，化簡整理計算可得結(jié)論．

解答： 解：設(shè)雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦點為F（c，0），離心率為e=

c

a

，
∵F為右焦點，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在右支，
∴由雙曲線的第二定義得到，e=

|PF|

d1

=

|QF|

d2

．
即有|PF|=ex₁-a，|QF|=ex₂-a，
設(shè)∠PFQ的外角平分線與l交于點A（m，n），
∴

|PA|

|QA|

=

|PF|

|QF|

，即有

x1-m

x2-m

=

ex1-a

ex2-a

，
化簡可得a（x₁-x₂）=em（x₁-x₂），
∴m=

a

e

=

a2

c

=

a2

a2+b2

，
即點A的橫坐標為

a2

a2+b2

．
故答案為：

a2

a2+b2

．

點評：本題考查雙曲線的第二定義和性質(zhì)，考查外角平分線性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．