【題目】如圖， 是邊長為的菱形， ， 平面， 平面， .

（Ⅰ）求證： ；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）見解析;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（I）連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，結(jié)合，可得平面，垂直同一個(gè)平面的兩條直線平行，故四點(diǎn)共面，故.（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以， 的方向?yàn)?/span>軸， 軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.計(jì)算直線的方向向量和平面的法向量，利用線面角公式求得線面角的正弦值.

試題解析：

（Ⅰ）證明：連接，

因?yàn)?/span>是菱形，所以.

因?yàn)?/span>平面， 平面，

所以.

因?yàn)?/span>，所以平面.

因?yàn)?/span>平面， 平面，所以.

所以， ， ， 四點(diǎn)共面.

因?yàn)?/span>平面，所以.

（Ⅱ）如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以， 的方向?yàn)?/span>軸， 軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

可以求得， ， ， ， .

所以， .

設(shè)平面的法向量為，

則即

不妨取，則平面的一個(gè)法向量為.

因?yàn)?/span>，

所以 .

所以直線與平面所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某校準(zhǔn)備組織師生共60人，從南靖乘動車前往廈門參加夏令營活動，動車票價(jià)格如表所示：（教師按成人票價(jià)購買，學(xué)生按學(xué)生票價(jià)購買）．

運(yùn)行區(qū)間

成人票價(jià)（元/張）

學(xué)生票價(jià)（元/張）

出發(fā)站

終點(diǎn)站

一等座

二等座

二等座

南靖

廈門

26

22

16

若師生均購買二等座票，則共需1020元．
（1）參加活動的教師有人，學(xué)生有人；
（2）由于部分教師需提早前往做準(zhǔn)備工作，這部分教師均購買一等座票，而后續(xù)前往的教師和學(xué)生均購買二等座票．設(shè)提早前往的教師有x人，購買一、二等座票全部費(fèi)用為y元．
①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
②若購買一、二等座票全部費(fèi)用不多于1032元，則提早前往的教師最多只能多少人？

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請寫出所有基本事件；

求滿足條件“”為整數(shù)的事件的概率；

求滿足條件“”的事件的概率.

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選擇套餐種類

選擇每種套餐的人數(shù)

50

25

25

將頻率視為概率.

（I）若有甲、乙、丙三位顧客選擇某種套餐，求三位顧客選擇的套餐至少有兩樣不同的概率；

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（1）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），
①若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1），求點(diǎn)A，B的“相關(guān)矩形”的面積；
②點(diǎn)C在直線x=3上，若點(diǎn)A，C的“相關(guān)矩形”為正方形，求直線AC的表達(dá)式；
（2）⊙O的半徑為 ，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，3），若在⊙O上存在一點(diǎn)N，使得點(diǎn)M，N的“相關(guān)矩形”為正方形，求m的取值范圍．

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