Question

【題目】已知橢圓：（）的離心率，左、右焦點(diǎn)分別為、，直線過(guò)點(diǎn)且垂直于橢圓的長(zhǎng)軸，動(dòng)直線垂直于點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）當(dāng)直線與橢圓相切，交于點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，求的直線方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：1）利用橢圓離心率可知利用拋物線定義求出點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）顯然當(dāng)AB斜率不存在時(shí)，不符合條件．當(dāng)AB斜率存在時(shí)，設(shè)AB：y=kx+m，聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）通過(guò)韋達(dá)定理結(jié)合OA⊥OB，轉(zhuǎn)化求解即可．

詳解：（1）由，得，，故，，

依條件可知，

∴的軌跡是以為準(zhǔn)線，為焦點(diǎn)的拋物線，

∴的方程為．

（2）顯然當(dāng)斜率不存在時(shí)，不符合條件．

當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)：，

由消得，

∵與相切，

∴，得，①

又由消得，

設(shè)，，則，，

且有得，，

∵，

∴ ，

得，

聯(lián)立①，得，故方程為．