Question

【題目】求下列橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（1）焦點(diǎn)在軸上，離心率，且經(jīng)過點(diǎn)；

（2）以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，并且過點(diǎn).

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）由焦點(diǎn)在軸上，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，將點(diǎn)A代入方程，由離心率與橢圓的系數(shù)關(guān)系整理得方程，由上述兩個(gè)方程解得，代入所設(shè)方程得答案；

（2）分類討論焦點(diǎn)在軸與軸，利用待定系數(shù)法設(shè)出方程，代入點(diǎn)坐標(biāo)可得方程，由已知長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍又可構(gòu)建方程，聯(lián)立方程組求得所設(shè)方程系數(shù)，既得答案.

（1）因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸上，即設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)，.①，

由已知，即.②，

把②代入①，得，解得，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）若焦點(diǎn)在軸上，設(shè)方程為

因?yàn)闄E圓過點(diǎn),所以，又，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，

若焦點(diǎn)在軸上，設(shè)方程為因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，,所以，又， ∴橢圓的方程為

綜上，所求的橢圓方程是 或