Question

（07年湖南卷文）（13分）

已知雙曲線的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的動(dòng)直線與雙曲線相交與A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，0）.

       （Ｉ）證明為常數(shù)；

       （Ⅱ）若動(dòng)點(diǎn)（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求點(diǎn)的軌跡方程.

Answer 1

解析：由條件知，設(shè)，．

（I）當(dāng)與軸垂直時(shí)，可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，

此時(shí)．

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，設(shè)直線的方程是．

代入，有．

則是上述方程的兩個(gè)實(shí)根，所以，，

于是

．

綜上所述，為常數(shù)．

（II）解法一：設(shè)，則，，

，．由得：

即

于是的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，，即．

又因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326142428006.gif' width=40>兩點(diǎn)在雙曲線上，所以，，兩式相減得

，即．

將代入上式，化簡(jiǎn)得．

當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程．

所以點(diǎn)的軌跡方程是．

解法二：同解法一得……………………………………①

當(dāng)不與軸垂直時(shí)，由（I） 有．…………………②

．………………………③

由①②③得．…………………………………………………④

．……………………………………………………………………⑤

當(dāng)時(shí)，，由④⑤得，，將其代入⑤有

．整理得．

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，滿足上述方程．

當(dāng)與軸垂直時(shí)，，求得，也滿足上述方程．

故點(diǎn)的軌跡方程是．