Question

（07年湖南卷文）（13分）

已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)各有一個極值點(diǎn).

（Ⅰ）求的最大值；

�。á颍┊�(dāng)時，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處的切線為，若在點(diǎn)A處穿過的圖象（即動點(diǎn)在點(diǎn)A附近沿曲線運(yùn)動，經(jīng)過點(diǎn)A時，從的一側(cè)進(jìn)入另一側(cè)），求函數(shù)的表達(dá)式.

Answer 1

解析：（I）因為函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有一個極值點(diǎn)，所以在，內(nèi)分別有一個實根，

設(shè)兩實根為（），則，且．于是

，，且當(dāng)，即，時等號成立．故的最大值是16．

（II）解法一：由知在點(diǎn)處的切線的方程是

，即，

因為切線在點(diǎn)處穿過的圖象，

所以在兩邊附近的函數(shù)值異號，則

不是的極值點(diǎn)．

而，且

．

若，則和都是的極值點(diǎn)．

所以，即．又由，得．故．

解法二：同解法一得

．

因為切線在點(diǎn)處穿過的圖象，所以在兩邊附近的函數(shù)值異號．于是存在（）．

當(dāng)時，，當(dāng)時，；

或當(dāng)時，，當(dāng)時，．

設(shè)，則

當(dāng)時，，當(dāng)時，；

或當(dāng)時，，當(dāng)時，．

由知是的一個極值點(diǎn)，則．

所以．又由，得，故．