Question

【題目】知函數(shù)，.

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：存在，使得方程在上有唯一解.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析

【解析】

（1）求出函數(shù)f（x）的定義域，對函數(shù)f（x）求導(dǎo)得到，分與,得到導(dǎo)函數(shù)在各區(qū)間段內(nèi)的符號,得到函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）構(gòu)造，求導(dǎo)分析的單調(diào)性，找到a<1時，在上恒成立，在上遞增，而h(，,由函數(shù)零點存在定理得到存在，使得方程在上有唯一解，即證得結(jié)論.

（1）函數(shù)f（x）的定義域為，

因為，

令，

則，即，

則在上恒成立，

當(dāng)或，由有或，

由有，

綜上，當(dāng)時，的遞增區(qū)間是，

當(dāng)或時，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；

（2）令，

當(dāng)時，則

，

因為，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，即當(dāng)時，有最小值，又h（1）=1-2a，

當(dāng)a<1時，h（1）0，即在上恒成立，

又a<1時,，

取x=,則即，

又在上遞增，而h(，由函數(shù)零點存在定理知在上存在唯一零點，

所以當(dāng)a<1時即存在，使得方程在上有唯一解，即方程在上有唯一解.