【題目】已知函數(shù),.
(1)當時,求曲線在點處的切線方程;
(2)求函數(shù)在上的極值;
(3)設(shè)函數(shù),若,且對任意的實數(shù),不等式恒成立(e是自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1);(2)當時,無極值;當時,的極小值為,無極大值;(3).
【解析】
(1)代入,求導,求出斜率和切點,利用點斜式可寫出直線方程;
(2)求導,分類討論求出函數(shù)在上單調(diào)性,列表,找到極值點,進而可得極值;
(3)對任意的,恒成立,先通過估算實數(shù)a的取值范圍,再分和討論,求導,求出的最大值,列不等式求解即可.
(1)當時,,
,
所以,,
所以曲線在點處的切線方程為
即;
(2),.
①當時,,在上單調(diào)增,所以無極值;
②當時,令,得,列表如下:
x | |||
0 | |||
極小值 |
所以的極小值為.
綜上所述,當時,無極值;
當時,的極小值為,無極大值;
(3)因為.
由題意,對任意的,恒成立,所以,
解得,又,所以.
①當時,因為,所以,當且僅當時,取等號.
由(2)知,在上單調(diào)增,所以.
所以,當且僅當時,取等號,
所以在上單調(diào)增,則,
解得,此時,.
②當時,由(2)知,在上單調(diào)遞增,且,
又,所以存在,且,使得,
即,得.
所以的解為和a,列表如下:
x | a | ||||
0 | 0 | ||||
極大值 | 極小值 |
所以,,即,
又,所以恒成立,此時,.
綜上所述,實數(shù)a的取值范圍為.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知甲、乙、丙三位同學在某次考試中總成績列前三名,有,,三位學生對其排名猜測如下::甲第一名,乙第二名;:丙第一名;甲第二名;:乙第一名,甲第三名.成績公布后得知,,,三人都恰好猜對了一半,則第一名是__________.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)利用“五點法”畫出函數(shù)在長度為一個周期的閉區(qū)間的簡圖.
列表:
x | |||||
y |
作圖:
(2)并說明該函數(shù)圖象可由的圖象經(jīng)過怎么變換得到的.
(3)求函數(shù)圖象的對稱軸方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線焦點為,過上一點作切線,交軸于點,過點作直線交于點.
(1)證明:;
(2)設(shè)直線,的斜率為,的面積為,若,求的最小值.
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【題目】如圖,點是拋物線上位于第一象限內(nèi)一動點,是焦點,圓:,過點作圓的切線交準線于,兩點.
(Ⅰ)記直線,的斜率分別為,,若,求點的坐標;
(Ⅱ)若點的橫坐標,求面積的最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,,離心率為,過作直線與橢圓交于,兩點,的周長為8.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)問:的內(nèi)切圓面積是否有最大值?若有,試求出最大值;若沒有,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD.設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l.
(1)證明:l⊥平面PDC;
(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點,求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.
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