19. (本小題滿分12分)
如圖,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的高為3,底面是邊長為4且∠DAB = 60°的菱形,ACBD = O,A1C1B1D1 = O1,EO1A的中點.
(1) 求二面角O1BCD的大;
(2) 求點E到平面O1BC的距離.


 
 

 
60°,


解法一:
(1) 過O作OF⊥BC于F,連接O1F,
OO1⊥面AC,∴BCO1F,
∴∠O1FO是二面角O1-BC-D的平面角,········ 3分
OB = 2,∠OBF = 60°,∴OF =
在Rt△O1OF中,tan∠O1FO =
∴∠O1FO="60°" 即二面角O1BCD的大小為60°············· 6分
(2) 在△O1AC中,OE是△O1AC的中位線,∴OEO1C
OEO1BC,∵BC⊥面O1OF,∴面O1BC⊥面O1OF,交線O1F
OOHO1FH,則OH是點O到面O1BC的距離,··········· 10分
OH = ∴點E到面O1BC的距離等于················ 12分
解法二:
(1) ∵OO1⊥平面AC,
OO1OA,OO1OB,又OAOB,········· 2分
建立如圖所示的空間直角坐標系(如圖)
∵底面ABCD是邊長為4,∠DAB = 60°的菱形,
OA = 2,OB = 2,
A(2,0,0),B(0,2,0),C(-2,0,0),O1(0,0,3)··· 3分
設平面O1BC的法向量為=(x,y,z),則,
,則z = 2,則x=-y = 3,
=(-,3,2),而平面AC的法向量=(0,0,3)········ 5分
∴ cos<,>=,
O1BCD的平面角為α, ∴cosα=∴α=60°.
故二面角O1BCD為60°.······················ 6分
(2) 設點E到平面O1BC的距離為d,
∵E是O1A的中點,∴=(-,0,),············· 9分
則d=
∴點E到面O1BC的距離等于.···················· 12分
練習冊系列答案
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