Question

平面上有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚�(gè)圓之間都相交于兩個(gè)點(diǎn)，每三個(gè)圓都無(wú)公共點(diǎn)，它們將平面分成f（n）塊區(qū)域，則f（n）的表達(dá)式是（　　）

A．2n	B．2n-（n-1）（n-2）（n-3）
C．n3-5n2+10n-4	D．n2-n+2

Answer 1

∵一個(gè)圓將平面分為2份
兩個(gè)圓相交將平面分為4=2+2份，
三個(gè)圓相交將平面分為8=2+2+4份，
四個(gè)圓相交將平面分為14=2+2+4+6份，
…
平面內(nèi)n個(gè)圓，其中每?jī)蓚�(gè)圓都相交于兩點(diǎn)，且任意三個(gè)圓不相交于同一點(diǎn)，
則該n個(gè)圓分平面區(qū)域數(shù)f（n）=2+（n-1）n=n²-n+2
證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，一個(gè)圓把平面分成兩個(gè)區(qū)域，而1²-1+2=2，命題成立．
（2）假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，命題成立，即k個(gè)圓把平面分成k²-k+2個(gè)區(qū)域．
當(dāng)n=k+1時(shí)，第k+1個(gè)圓與原有的k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn)，這些交點(diǎn)把第k+1個(gè)圓分成了2k段弧，
而其中的每一段弧都把它所在的區(qū)域分成了兩部分，因此增加了2k個(gè)區(qū)域，
共有k²-k+2+2k=（k+1）²-（k+1）+2個(gè)區(qū)域．
∴n=k+1時(shí)，命題也成立．
由（1）、（2）知，對(duì)任意的n∈N*，命題都成立．
故選D．