(2010•武昌區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4(a∈R).若函數(shù)y=f(x)的圖象在點P(1,f(1))處的切線的傾斜角為
π4

(1)求a;
(2)設(shè)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f'(x),若m,n∈[-1,1],求f(m)+f'(n)的最小值;
(3)對實數(shù)m的值,討論關(guān)于x的方程f(x)=m的解的個數(shù).
分析:(1)根據(jù)函數(shù)y=f(x)的圖象在點P(1,f(1))處的切線的傾斜角為
π
4
,利用函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)圖象在該點的切線的斜率,即可求得.
(2)分別計算f(m),f'(n)的最小值.利用導(dǎo)數(shù)在某個區(qū)間上的符號,確定函數(shù)單調(diào)性,進而確定函數(shù)最值.
(3)先求得f(0)=-4,f(
4
3
)=-
76
27
.畫出函數(shù)y=f(x)草圖,根據(jù)y=f(x)與y=m的交點個數(shù),可確定方程f(x)=m的解的個數(shù).
解答:解:(1)f'(x)=-3x2+2ax.…(1分)
據(jù)題意,f′(1)=tan
π
4
=1

∴-3+2a=1,即a=2…(3分)
(2)由(1)知f(x)=-x3+2x2-4,f'(x)=-3x2+4x.
x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1
f'(x) -7 - 0 - 1
f(x) -1 -4 -3
∴對于m∈[-1,1],f(m)的最小值為f(0)=-4.…(6分)
∵f'(x)=-3x2-4x的對稱軸為x=
2
3
,且拋物線開口向下,
∴x∈[-1,1]時,f'(x)最小值為f'(-1)與f'(1)中較小的
∵f'(1)=1,f'(-1)=-7
∴當x∈[-1,1]時,在f'(x)的最小值為-7…(7分)
∴當x∈[-1,1]時,在f'(n)的最小值為-7…(8分)
∴f(m)+f'(n)的最小值為-11
(3)求得f(0)=-4,f(
4
3
)=-
76
27
.…(10分)
依題意可畫出函數(shù)y=f(x)草圖,得
m>-
76
27
或m<-4時,方程有一解;
m=-
76
27
或m=-4時,方程有兩解;
-4<m<-
76
27
時,方程有三解;
點評:本題以函數(shù)為載體,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題,同時考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,解題的關(guān)鍵是正確利用導(dǎo)數(shù)工具.
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6
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q
x
-2lnx
,且f(e)=qe-
p
e
-2
,其中p≥0,e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求p與q的關(guān)系;
(2)若f(x)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),求p的取值范圍.
(3)設(shè)g(x)=
2e
x
.若存在x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立,求實數(shù)p的取值范圍.

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lim
x→0
=
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