(2010•武昌區(qū)模擬)設函數(shù)f(x)=px-
q
x
-2lnx
,且f(e)=qe-
p
e
-2
,其中p≥0,e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求p與q的關系;
(2)若f(x)在其定義域內為單調函數(shù),求p的取值范圍.
(3)設g(x)=
2e
x
.若存在x0∈[1,e],使得f(x0)>g(x0)成立,求實數(shù)p的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)函數(shù)f(x)=px-
q
x
-2lnx
,且f(e)=qe-
p
e
-2
,可得(p-q)(e+
1
e
)=0,從而可求p與q的關系;
(2)求導函數(shù),再進行分類討論:當p=0時,f(x)在其定義域(0,+∞)內為單調減函數(shù);當p>0時,要使f(x)在其定義域(0,+∞)內為單調函數(shù),只需h(x)在(0,+∞)內滿足h(x)≥0恒成立,從而可求p的取值范圍;(3)確定g(x)=
2e
x
在[1,e]上的最值,再分類討論:①當p=0時,f(x)min=f(1)=0,不合題意;②當p≥1時,只需f(x)max>g(x)min(x∈[1,e]);③當0<p<1時,不合題意,從而可求實數(shù)p的取值范圍是.
解答:解:(1)由題意,∵函數(shù)f(x)=px-
q
x
-2lnx
,且f(e)=qe-
p
e
-2
,∴(p-q)(e+
1
e
)=0
e+
1
e
≠0,∴p-q=0,∴p=q
(2)由(1)知,f(x)=px-
p
x
-2lnx
,求導函數(shù),可得f′(x)=
px2-2x+p
x2

當p=0時,f′(x)=-
2
x
<0,所以f(x)在其定義域(0,+∞)內為單調減函數(shù)
當p>0時,要使f(x)在其定義域(0,+∞)內為單調函數(shù),由于h(x)=px2-2x+p圖象為開口向上的拋物線,所以只需h(x)在(0,+∞)內滿足h(x)≥0恒成立
函數(shù)h(x)=px2-2x+p的對稱軸為x=
1
p
∈(0,+∞)
,∴h(x)min=p-
1
p

∴只需p-
1
p
≥0
,∵p>0,∴p≥1
綜上所述,p的取值范圍為{0}∪[1,+∞)
(3)∵g(x)=
2e
x
在[1,e]上是減函數(shù),
∴x=e時,g(x)min=2;x=1時,g(x)max=2e,即g(x)∈[2,2e]
①當p=0時,由(2)知f(x)在[1,e]上是減函數(shù),∴f(x)min=f(1)=0,不合題意;
②當p≥1時,由(2)知f(x)在[1,e]上是增函數(shù),f(1)=0<2,
g(x)=
2e
x
在[1,e]上是減函數(shù),故只需f(x)max>g(x)min(x∈[1,e]),
∵f(x)max=f(e)=p(e-
1
e
)-2,g(x)min=2,
∴p(e-
1
e
)-2>2,∴p>
4e
e2-1
;
③當0<p<1時,由x∈[1,e],x-
1
x
≥0,
由(2)知當p=1時,f(x)在[1,e]上是增函數(shù),f(x)=p(x-
1
x
)-2lnx
x-
1
x
-2lnx
e-
1
e
-2<
2,不合題意
綜上,實數(shù)p的取值范圍是(
4e
e2-1
,+∞)
點評:本題考查導數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的單調性,考查存在性問題,考查分類討論的數(shù)學思想,考查學生分析解決問題的能力,綜合性強.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2010•武昌區(qū)模擬)球面上有3個點,其中任意兩點的球面距離都等于大圓周長的
1
6
,經過這3點的小圓周長為4π,那么這個球的體積為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2010•武昌區(qū)模擬)一個口袋中裝有4個紅球和5個白球,一次摸獎從中摸兩個球,兩個球顏色不同則中獎.
(Ⅰ)試求一次摸獎中獎的概率P;
(Ⅱ)求三次摸獎(每次摸獎后放回)中獎次數(shù)ξ的分布列與期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2010•武昌區(qū)模擬)
lim
x→0
=
ex-1
x
=
1
1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2010•武昌區(qū)模擬)2010年兩會記者招待會上,主持人要從5名中國記者與4名外主國記者中選出3名進行提問,要求3人中既有國內記者又有國外記者,且國內記者不能連續(xù)提問,則不同的提問方式的種數(shù)是( 。

查看答案和解析>>

同步練習冊答案