【題目】設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),記,是否存在整數(shù),使得關(guān)于的不等式有解?若存在,請(qǐng)求出的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】試題分析:
(1) ,討論可得函數(shù)的單調(diào)性;
(2) ,判斷函數(shù)的單調(diào)性并求出最值,則易得結(jié)論.
試題解析:
(1
當(dāng)時(shí),由,解得;
當(dāng)時(shí),由,解得;
當(dāng)時(shí),由,解得;
當(dāng)時(shí),由,解得;
綜上所述,當(dāng)時(shí), 的單調(diào)遞增區(qū)間為;
當(dāng)時(shí), 的單調(diào)遞增區(qū)間為;
當(dāng)時(shí), 的單調(diào)遞增區(qū)間為;
(2)方法一:當(dāng)時(shí), ,
在單調(diào)遞增,
,
所以存在唯一實(shí)數(shù),使得,即,
=
記函數(shù),則,
在上單調(diào)遞增,
所以,即.
,且為整數(shù),得,
所以存在整數(shù)滿足題意,且的最小值為0.
方法二:當(dāng)時(shí), ,
由得,當(dāng)時(shí),不等式有解,
下面證明:當(dāng)時(shí),不等式恒成立,
即證恒成立.
顯然,當(dāng)時(shí),不等式恒成立.
只需證明當(dāng)時(shí), 恒成立.
即證明,令,
,由,得.
當(dāng);當(dāng);
= ,
當(dāng)時(shí); 恒成立.
綜上所述,存在整數(shù)滿足題意,且的最小值為0.
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(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),記,是否存在整數(shù),使得關(guān)于的不等式有解?若存在,請(qǐng)求出的最小值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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