【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是一個(gè)正方形,且其周長(zhǎng)為.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為,若點(diǎn)總在以線段為直徑的圓內(nèi),求的取值范圍.
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(I)由題意列出方程組求出, ,由此能求出橢圓的方程.(Ⅱ)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí), 的方程為, ,點(diǎn)B在橢圓內(nèi),由,得,由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、由此能求出的取值范圍.
試題解析:(I)解:由題意,得: 又因?yàn)?/span>
解得,所以橢圓C的方程為.
(II)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),由題意知的方程為x=0,
此時(shí)E,F為橢圓的上下頂點(diǎn),且,
因?yàn)辄c(diǎn)總在以線段為直徑的圓內(nèi),且,
所以,故點(diǎn)B在橢圓內(nèi).
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)的方程為.
由方程組得,
因?yàn)辄c(diǎn)B在橢圓內(nèi),
所以直線與橢圓C有兩個(gè)公共點(diǎn),即.
設(shè),則.
設(shè)EF的中點(diǎn),則,
所以.所以,
,
因?yàn)辄c(diǎn)D總在以線段EF為直徑的圓內(nèi),所以對(duì)于恒成立.
所以.
化簡(jiǎn),得,整理,得,
而(當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)等號(hào)成立)所以,
由m>0,得.綜上,m的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本題分)
已知定義在上的兩個(gè)函數(shù), 圖象有公共點(diǎn),且在公共點(diǎn)處的切線相同.
(Ⅰ)用表示.
(Ⅱ)求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若為的極值點(diǎn),求的值;
(Ⅱ)若在單調(diào)遞增,求的取值范圍.
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),方程有實(shí)數(shù)根,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)
(1)求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),記,是否存在整數(shù),使得關(guān)于的不等式有解?若存在,請(qǐng)求出的最小值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一個(gè)動(dòng)圓與兩個(gè)定圓和均相切,其圓心的軌跡為曲線C.
(1) 求曲線C的方程;
(2) 過(guò)點(diǎn)F()做兩條可相垂直的直線,設(shè)與曲線C交于A,B兩點(diǎn), 與曲線 C交于C,D兩點(diǎn),線段AC,BD分別與直線交于M,M,N兩點(diǎn)。求證|MF|:|NF|為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了響應(yīng)我市“創(chuàng)建宜居港城,建設(shè)美麗莆田”,某環(huán)保部門(mén)開(kāi)展以“關(guān)愛(ài)木蘭溪,保護(hù)母親河”為主題的環(huán)保宣傳活動(dòng),將木蘭溪流經(jīng)市區(qū)河段分成段,并組織青年干部職工對(duì)每一段的南、北兩岸進(jìn)行環(huán)保綜合測(cè)評(píng),得到分值數(shù)據(jù)如下表:
南岸 | 77 | 92 | 84 | 86 | 74 | 76 | 81 | 71 | 85 | 87 |
北岸 | 72 | 87 | 78 | 83 | 83 | 85 | 75 | 89 | 90 | 95 |
(Ⅰ)記評(píng)分在以上(包括)為優(yōu)良,從中任取一段,求在同一段中兩岸環(huán)保評(píng)分均為優(yōu)良的概率;
(Ⅱ)根據(jù)表中數(shù)據(jù)完成下面莖葉圖;
(Ⅲ)分別估計(jì)兩岸分值的中位數(shù),并計(jì)算它們的平均值,試從計(jì)算結(jié)果分析兩岸環(huán)保情況,哪邊保護(hù)更好.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓的左頂點(diǎn),且點(diǎn)在橢圓上, 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)。過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于另一點(diǎn),直線交橢圓于點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若為等腰三角形,求點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sinωxcosωx-cos2ωx+ (ω>0),經(jīng)化簡(jiǎn)后利用“五點(diǎn)法”畫(huà)其在某一周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:
x | ① |
| |||
f(x) | 0 | 1 | 0 | -1 | 0 |
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出①處應(yīng)填的值,并求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域;
(2)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知f(A+)=1,b+c=4,a=,求△ABC的面積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】[選修4-5:不等式選講](10分)
已知函數(shù)f(x)=2|x-2|+3|x+3|.
(Ⅰ)解不等式:f(x)>15;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)的最小值為m,正實(shí)數(shù)a,b滿足4a+25b=m,求+的最小值,并求出此時(shí)a,b的大。
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