【題目】已知橢圓的離心率為,過點的橢圓的兩條切線相互垂直.

(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)在橢圓上是否存在這樣的點,過點引拋物線的兩條切線,切點分別為,且直線過點?若存在,指出這樣的點有幾個(不必求出點的坐標(biāo));若不存在,請說明理由.

【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)滿足條件的點有兩個.

【解析】

試題

(1) 結(jié)合橢圓的離心率可求得,則橢圓方程為.

(2)由題意首先求得切線方程的參數(shù)形式,據(jù)此可得直線的方程為,則點的軌跡方程為,原問題轉(zhuǎn)化為直線與橢圓的交點個數(shù),即滿足條件的點有兩個.

試題解析:

Ⅰ)由橢圓的對稱性,不妨設(shè)在軸上方的切點為,軸下方的切點為

,的直線方程為,

因為橢圓 的離心率為,

所以橢圓

所以 ,則,

所以橢圓方程為.

Ⅱ)設(shè)點,,

,即,得

∴拋物線在點處的切線的方程為,

,.

∵點在切線上,∴.

同理,.

綜合①、②得,點,的坐標(biāo)都滿足方程.

∵經(jīng)過,兩點的直線是唯一的,

∴直線的方程為,

∵點在直線上,∴,

∴點的軌跡方程為.

又∵點在橢圓上,又在直線上,

∴直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點,

∴直線與橢圓交于兩點.

∴滿足條件的點有兩個.

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