Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

ablnx

x

，g（x）=-

1

2

x+（a+b）（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，a，b∈R且a≠0），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=ae（x-1）．
（1）求b的值；
（2）若對任意x∈[

1

e

，+∞），f（x）與g（x）有且只有兩個交點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′(x)=

ab(1-lnx)

x2

，從而可得f′（1）=ab=ae，從而解得；
（2）令h(x)=x(f(x)-g(x))=

1

2

x2-(a+e)x+aelnx，則任意x∈[

1

e

，+∞)，f（x）與g（x）有且只有兩個交點可化為函數(shù)h（x）在[

1

e

，+∞)有且只有兩個零點．求導(dǎo)h′(x)=

(x-a)(x-e)

x

，從而分類討論求a的取值范圍．

解答： 解：（1）由f(x)=

ablnx

x

，得f′(x)=

ab(1-lnx)

x2

，
由題意得f′（1）=ab=ae，
∵a≠0，∴b=e，
（2）令h(x)=x(f(x)-g(x))=

1

2

x2-(a+e)x+aelnx，
則任意x∈[

1

e

，+∞)，f（x）與g（x）有且只有兩個交點，等價于函數(shù)h（x）在[

1

e

，+∞)有且只有兩個零點．
由h(x)=

1

2

x2-(a+e)x+aelnx，得h′(x)=

(x-a)(x-e)

x

，
①當(dāng)a≤

1

e

時，由h′（x）＞0得x＞e；由h′（x）＜0得

1

e

＜x＜e．
此時h（x）在(

1

e

，e)上單調(diào)遞減，在（e，+∞）上單調(diào)遞增．
∵h(e)=

1

2

e2-(a+e)e+aelne=-

1

2

e2＜0，
∵h(e2)=

1

2

e4-(a+e)e2+2ae=

1

2

e(e-2)(e2-2a)≥

1

2

e(e-2)(e2-

2

e

)＞0，
∴要使得h（x）在[

1

e

，+∞)上有且只有兩個零點，
則只需h(

1

e

)=

1

2e2

-

a+e

e

+aeln

1

e

=

(1-2e2)-2e(1+e2)a

2e2

≥0，
即a≤

1-2e2

2e(1+e2)

；
②當(dāng)

1

e

＜a＜e時，由h′（x）＞0得

1

e

＜x＜a或x＞e；由h′（x）＜0得a＜x＜e．
此時h（x）在（a，e）上單調(diào)遞減，在(

1

e

，a)和（e，+∞）上單調(diào)遞增．
此時h(a)=-

1

2

a2-ae-aelna＜-

1

2

a2-ae+aelne=-

1

2

a2＜0，
∴此時h（x）在[

1

e

，+∞)至多只有一個零點，不合題意；
③當(dāng)a＞e時，由h′（x）＞0得

1

e

＜x＜e或x＞a，由h′（x）＜0得e＜x＜a，
此時h（x）在(

1

e

，e)和（a，+∞）上單調(diào)遞增，在（e，a）上單調(diào)遞減，且h(e)=-

1

2

e2＜0，
∴h（x）在[

1

e

，+∞)至多只有一個零點，不合題意；
綜上所述，a的取值范圍為(-∞，

1-2e2

2e(1+e2)

]．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，屬于中檔題．