【題目】函數(shù) .
(1)當(dāng)時,討論的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)有兩個極值點,且,證明: .
【答案】(1)答案見解析;(2)證明見解析.
【解析】試題分析:
(1)結(jié)合函數(shù)的解析式求導(dǎo)可得,分類討論可得:
當(dāng)時, 在上遞減,
在和上遞增,當(dāng)時,在上遞增.
(2)由題意結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可知: 是方程的兩根,結(jié)合所給的不等式構(gòu)造對稱差函數(shù) ,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和自變量的范圍即可證得題中的不等式.
試題解析:
函數(shù)的定義域為,
(1)令,開口向上, 為對稱軸的拋物線,
當(dāng)時,
①,即時, ,即在上恒成立,
②當(dāng)時,由,得,
因為,所以,當(dāng)時, ,即,
當(dāng)或時, ,即,
綜上,當(dāng)時, 在上遞減,
在和上遞增,當(dāng)時,在上遞增.
(2)若函數(shù)有兩個極值點且,
則必有,且,且在上遞減,在和上遞增,
則,
因為是方程的兩根,
所以,即,
要證
又
,
即證對恒成立,
設(shè)
則
當(dāng)時, ,故,
所以在上遞增,
故,
所以,
所以.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為實常數(shù)).
(Ⅰ)若為的極值點,求實數(shù)的取值范圍.
(Ⅱ)討論函數(shù)在上的單調(diào)性.
(Ⅲ)若存在,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中
(Ⅰ)若函數(shù)存在相同的零點,求的值;
(Ⅱ)若存在兩個正整數(shù),當(dāng)時,有與同時成立,求的最大值及取最大值時的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知有窮數(shù)列, , , , ,若數(shù)列中各項都是集合的元素,則稱該數(shù)列為數(shù)列.
對于數(shù)列,定義如下操作過程從中任取兩項, ,將的值添在的最后,然后刪除, ,這樣得到一個項的新數(shù)列,記作(約定:一個數(shù)也視作數(shù)列).若還是數(shù)列,可繼續(xù)實施操作過程.得到的新數(shù)列記作, ,如此經(jīng)過次操作后得到的新數(shù)列記作.
(Ⅰ)設(shè), , , ,請寫出的所有可能的結(jié)果.
(Ⅱ)求證:對數(shù)列實施操作過程后得到的數(shù)列仍是數(shù)列.
(Ⅲ)設(shè), , , , , , , , , , ,求的所有可能的結(jié)果,并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四棱錐中, , ,點M是線段AB上的一點,且.
(1)證明:平面平面ABCD;
(2)求直線CM與平面PCD所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足, ,其中.
(1)設(shè),求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求出的通項公式;
(2)設(shè),數(shù)列的前項和為,是否存在正整數(shù),使得對于恒成立,若存在,求出的最小值,若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),以原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)已知點是曲線上一點,若點到曲線的最小距離為,求的值.
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