【題目】已知數(shù)列滿足： ， ， .　

（1）證明： ；

（2）證明： ；

（3）證明： .

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）先用數(shù)學歸納法證明，再設(shè)， ，求出的單調(diào)性，即可得證；（2）要證，只需證，令， ，求出的單調(diào)性，推出，再令， ，求出的單調(diào)性，推出，即可得證；（3）由（2）可得，由迭代可得，再根據(jù)，推出 ，然后由，推出，即可得證.

試題解析：（1）先用數(shù)學歸納法證明.　

①當時，∵，∴；

②假設(shè)當時， ，則當時， .

由①②可知.

再證.

，

令， ，則，

所以在上單調(diào)遞減，所以，

所以，即.

（2）要證，只需證，

只需證其中，

先證，

令， ，只需證.　

因為，

所以在上單調(diào)遞減，所以.

再證，

令， ，只需證，

，

令， ，則，

所以在上單調(diào)遞增，所以，

從而，所以在上單調(diào)遞增，所以，

綜上可得.

（3）由（2）知，一方面， ，由迭代可得，

因為，所以，所以

；

另一方面，即，

由迭代可得.

因為，所以 ，所以

；

綜上， .

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知，.

（I）若，求函數(shù)在點處的切線方程；

（II）若函數(shù)在上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（III）令，（是自然對數(shù)的底數(shù)），求當實數(shù)等于多少時，可以使函數(shù)取得最小值為3.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知是由正整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前項的最大值記為，第項之后各項， ， 的最小值記為， ．

（I）若為， ， ， ， ， ， ， ， ，是一個周期為的數(shù)列（即對任意， ），寫出， ， ， 的值．

（II）設(shè)是正整數(shù)，證明： 的充分必要條件為是公比為的等比數(shù)列．

（III）證明：若， ，則的項只能是或者，且有無窮多項為．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知95個數(shù)a1，a2，a3，…，a95， 則a1a2+a1a3+…+a94a95的最小正值是______________．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖所示，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的序號是__________．

①；

②直線與平面所成角的正弦值為定值；

③當為定值，則三棱錐的體積為定值；

④異面直線所成的角的余弦值為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（為實數(shù)）．

（Ⅰ）若，求函數(shù)在處的切線方程．

（Ⅱ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

（Ⅲ）若存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù) .

（1）當時，討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個極值點，且，證明： .

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，E、F分別為A1C1和BC的中點．

（1）求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；

（2）求證：C1F//平面ABE．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校做了一次關(guān)于“感恩父母”的問卷調(diào)查，從8～10歲，11～12歲，13～14歲，15～16歲四個年齡段回收的問卷依次為：120份，180份，240份，x份．因調(diào)查需要，從回收的問卷中按年齡段分層抽取容量為300的樣本，其中在11～12歲學生問卷中抽取60份，則在15～16歲學生中抽取的問卷份數(shù)為( )

A．60 B．80 C．120 D．180

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