【題目】已知有窮數(shù)列, , , , ,若數(shù)列中各項(xiàng)都是集合的元素,則稱該數(shù)列為數(shù)列.
對(duì)于數(shù)列,定義如下操作過程從中任取兩項(xiàng), ,將的值添在的最后,然后刪除, ,這樣得到一個(gè)項(xiàng)的新數(shù)列,記作(約定:一個(gè)數(shù)也視作數(shù)列).若還是數(shù)列,可繼續(xù)實(shí)施操作過程.得到的新數(shù)列記作, ,如此經(jīng)過次操作后得到的新數(shù)列記作.
(Ⅰ)設(shè), , , ,請(qǐng)寫出的所有可能的結(jié)果.
(Ⅱ)求證:對(duì)數(shù)列實(shí)施操作過程后得到的數(shù)列仍是數(shù)列.
(Ⅲ)設(shè), , , , , , , , , , ,求的所有可能的結(jié)果,并說明理由.
【答案】()見解析()見解析().
【解析】試題分析:(1)中任取2項(xiàng),有種取法,所以可以得到6種;(2)由,有,得證;(3)經(jīng)驗(yàn)證,我們可知數(shù)列滿足交換律和結(jié)合律,與具體操作過程無關(guān),則,
易知, , , .
,所以.
試題解析:
()有如下種可知結(jié)果: , , ; , , ;
, , ; , , ; , , ; , , .
()證明:∵, ,有:
且,
∴.
故對(duì)數(shù)列實(shí)施操作后得到的數(shù)列仍是數(shù)列.
()由題意可知中僅有一項(xiàng),
對(duì)于滿足, 的實(shí)數(shù), 定義運(yùn)算: ,
下面證明這種運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律.
∵,且,
∴,即該運(yùn)算滿足交換律.
∵,
.
∴,即該運(yùn)算滿足結(jié)合律,
∴中的項(xiàng)與實(shí)施的具體操作過程無關(guān).
選擇如下操作過程求,由()可知,
易知, , , .
.
綜上可知.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,以為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為, 分別為與軸, 軸的交點(diǎn).
(1)寫出的直角坐標(biāo)方程,并求的極坐標(biāo);
(2)設(shè)的中點(diǎn)為,求直線的極坐標(biāo)方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知集合,其中,由中的元素構(gòu)成兩個(gè)相應(yīng)的集合:
, .
其中是有序數(shù)對(duì),集合和中的元素個(gè)數(shù)分別為和.
若對(duì)于任意的,總有,則稱集合具有性質(zhì).
(Ⅰ)檢驗(yàn)集合與是否具有性質(zhì)并對(duì)其中具有性質(zhì)的集合,寫出相應(yīng)的集合和.
(Ⅱ)對(duì)任何具有性質(zhì)的集合,證明.
(Ⅲ)判斷和的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,正方體的棱長為1,線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是__________.
①;
②直線與平面所成角的正弦值為定值;
③當(dāng)為定值,則三棱錐的體積為定值;
④異面直線所成的角的余弦值為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若實(shí)數(shù)數(shù)列滿足,則稱數(shù)列為“數(shù)列”.
(Ⅰ)若數(shù)列是數(shù)列,且,求,的值;
(Ⅱ)求證:若數(shù)列是數(shù)列,則的項(xiàng)不可能全是正數(shù),也不可能全是負(fù)數(shù);
(Ⅲ)若數(shù)列為數(shù)列,且中不含值為零的項(xiàng),記前項(xiàng)中值為負(fù)數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為,求所有可能取值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù) .
(1)當(dāng)時(shí),討論的單調(diào)性;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),且,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為.
⑴ 若直線與曲線恒相切于同一定點(diǎn),求的方程;
⑵ 若,求證:當(dāng)時(shí), 恒成立;
⑶ 若當(dāng)時(shí), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展開式中x的系數(shù)為11.
(1)求x2的系數(shù)取最小值時(shí)n的值;
(2)當(dāng)x2的系數(shù)取得最小值時(shí),求f(x)展開式中x的奇次冪項(xiàng)的系數(shù)之和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若曲線與直線只有一個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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