Question

已知橢圓C的中心在原點，一個焦點的坐標(biāo)為F（

2

，0），且長軸長是短軸長的

2

倍．
（1）求橢圓C的方程；  
（2）直線y=x-1與橢圓C交于A、B兩點，求弦長|AB|； 
（3）設(shè)P是橢圓C上的任意一點，MN是圓D：x²+（y-3）²=1的任意一條直徑，求

PM

•

PN

的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），由已知條件得c=

2

，a=

2

b，由此能求出橢圓的方程．
（2）由

y=x-1 x2 4 + y2 2 =1

，得3x²-4x-2=0，由此利用橢圓弦長公式能求出|AB|．
（3）設(shè)P（x₀，y₀），則x02=4-2y02，

PM

•

PN

=x02+(y0-3)2-1，由此能求出

PM

•

PN

的最大值．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
∵一個焦點的坐標(biāo)為F（

2

，0），且長軸長是短軸長的

2

倍，
∴c=

2

，a=

2

b，∴b=c=

2

，a=2
∴橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．…（3分）
（2）由

y=x-1 x2 4 + y2 2 =1

，得3x²-4x-2=0，△=40＞0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=

4

3

，x₁x₂=-

2

3

，
∴|AB|=

1+1

•|x1-x2|=

2

•

( 4 3 )2-4•(- 2 3 )

=

4 5

3

．…（8分）
（3）設(shè)P（x₀，y₀），則

x02

4

+

y02

2

=1，
∴x02=4-2y02，

PM

•

PN

=（

DM

-

DP

）•（

DN

-

DP

）
═（

DM

-

DP

）•（-

DM

-

DP

）
=

DP

2-

DM

2
=x02+(y0-3)2-1
=4-2y02+(y0-3)2-1
=-（y0 +3）²+21，…（11分）
∵y₀∈[-

2

，

2

]，
∴當(dāng)y₀=-

2

時，

PM

•

PN

取得最大值10+6

2

．．…（14分）

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查弦長的求法，考查向量的數(shù)量積的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長公式的合理運用．