Question

【題目】已知數(shù)列，，數(shù)列滿足，n．

（1）若，，求數(shù)列的前2n項和；

（2）若數(shù)列為等差數(shù)列，且對任意n，恒成立．

①當數(shù)列為等差數(shù)列時，求證：數(shù)列，的公差相等；

②數(shù)列能否為等比數(shù)列？若能，請寫出所有滿足條件的數(shù)列；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）①見解析②數(shù)列不能為等比數(shù)列，見解析

【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列通項公式的特點，奇數(shù)項為等差數(shù)列，偶數(shù)項為等比數(shù)列，選用分組求和的方法進行求解；

（2）①設數(shù)列的公差為，數(shù)列的公差為，當n為奇數(shù)時，得出；當n為偶數(shù)時，得出，從而可證數(shù)列，的公差相等；

②利用反證法，先假設可以為等比數(shù)列，結(jié)合題意得出矛盾，進而得出數(shù)列不能為等比數(shù)列．

（1）因為，，所以，且，

由題意可知，數(shù)列是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，

數(shù)列是首項和公比均為4的等比數(shù)列，

所以；

（2）①證明：設數(shù)列的公差為，數(shù)列的公差為，

當n為奇數(shù)時，，

若，則當時，，

即，與題意不符，所以，

當n為偶數(shù)時，，，

若，則當時，，

即，與題意不符，所以，

綜上，，原命題得證；

②假設可以為等比數(shù)列，設公比為q，

因為，所以，所以，，

因為當時，

，

所以當n為偶數(shù)，且時，，

即當n為偶數(shù)，且時，不成立，與題意矛盾，

所以數(shù)列不能為等比數(shù)列．