Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝ln (x＋1)－ －x，a∈R.

(1)當(dāng)a>0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若存在x>0，使f(x)＋x＋1<－ (a∈Z)成立，求a的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）5.

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，轉(zhuǎn)化研究二次函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律：當(dāng)判別式非正時(shí)，導(dǎo)函數(shù)不變號(hào)；當(dāng)判別式大于零時(shí)，定義域上有兩個(gè)根 ，導(dǎo)函數(shù)符號(hào)先負(fù)再正再負(fù)（2）先利用參變分離法化簡不等式得，轉(zhuǎn)化求函數(shù)最小值,利用導(dǎo)數(shù)可得有唯一極小值，也是最小值，再根據(jù)極點(diǎn)條件求最小值取值范圍，進(jìn)而可得a的最小值．

試題解析： 解　(1)f′(x)＝，x>－1.

當(dāng)a≥時(shí)，f′(x)≤0，∴f(x)在(－1，＋∞)上單調(diào)遞減．

當(dāng)0<a<時(shí)，

當(dāng)－1<x<時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)<x<時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)x>時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減．

綜上，當(dāng)a≥時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，＋∞)；

當(dāng)0<a<時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，

f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.

(2)原式等價(jià)于ax>(x＋1)ln (x＋1)＋2x＋1，

即存在x>0，使成立．

設(shè)，x>0，

則，x>0，

設(shè)h(x)＝x－1－ln (x＋1)，x>0，

則h′(x)＝1－>0，∴h(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

又h(2)<0，h(3)>0，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可知h(x)在(0，＋∞)上有唯一零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為x0，則x0－1＝ln (x0＋1)，且x0∈(2,3)，

∴

又a>x0＋2，a∈Z，∴a的最小值為5.