已知橢圓的離心率,且過點(diǎn)
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)垂直于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn),若以AB為直徑的圓D經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn).證明:圓D的半徑為定值.
【答案】分析:(1)根據(jù)橢圓的離心率,可得a2=4b2,利用橢圓過點(diǎn),即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),分類討論:①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí),由橢圓的對(duì)稱性可知x1=x2,y1=-y2,從而可求原點(diǎn)O到直線的距離;②當(dāng)直線AB斜率為0時(shí),由橢圓的對(duì)稱性可知x1=-x2,y1=y2,可求原點(diǎn)O到直線的距離,由此可知圓D的半徑為定值
解答:(1)解:∵橢圓的離心率
,∴a2=4b2
∴橢圓C的方程為
∵橢圓過點(diǎn)

∴b2=1,a2=4
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
(2)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2
①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí),由橢圓的對(duì)稱性可知x1=x2,y1=-y2,
∵以AB為直徑的圓D經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),∴
∴x1x2+y1y2=0,∴
,∴
∴原點(diǎn)O到直線的距離為
②當(dāng)直線AB斜率為0時(shí),由橢圓的對(duì)稱性可知x1=-x2,y1=y2
∵以AB為直徑的圓D經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),∴
∴x1x2+y1y2=0,∴
,∴
∴原點(diǎn)O到直線的距離為
綜上知,圓D的半徑為定值
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查圓與橢圓的綜合,正確運(yùn)用橢圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.
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