Question

已知橢圓的離心率，且過點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）垂直于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓D經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．證明：圓D的半徑為定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率，可得a²=4b²，利用橢圓過點(diǎn)，即可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），分類討論：①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，從而可求原點(diǎn)O到直線的距離；②當(dāng)直線AB斜率為0時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知x₁=-x₂，y₁=y₂，可求原點(diǎn)O到直線的距離，由此可知圓D的半徑為定值．
解答：（1）解：∵橢圓的離心率
∴，∴a²=4b²
∴橢圓C的方程為
∵橢圓過點(diǎn)
∴
∴b²=1，a²=4
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
①當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知x₁=x₂，y₁=-y₂，
∵以AB為直徑的圓D經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴
∵，∴
∴原點(diǎn)O到直線的距離為
②當(dāng)直線AB斜率為0時(shí)，由橢圓的對(duì)稱性可知x₁=-x₂，y₁=y₂，
∵以AB為直徑的圓D經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴
∴x₁x₂+y₁y₂=0，∴
∵，∴
∴原點(diǎn)O到直線的距離為
綜上知，圓D的半徑為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓與橢圓的綜合，正確運(yùn)用橢圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．