Question

已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸的正半軸重合，直線l的傾斜角為α，參數方程為

x=tcosα y=tsinα

（t為參數，tanα=

1

2

），圓C的極坐標方程為ρ²-8ρcosθ+12=0，直線l與圓C交于A，B兩點，則|OA|+|OB|=

 

．

Answer 1

考點：點的極坐標和直角坐標的互化,參數方程化成普通方程

專題：坐標系和參數方程

分析：把圓C的極坐標方程化為直角坐標方程，把直線l的參數方程代入圓的方程，由韋達定理可得t₁+t₂=|OA|+|OB|=8cosα．再由條件求得cosα的值，可得|OA|+|OB|的值．

解答： 解：圓C的極坐標方程為ρ²-8ρcosθ+12=0，化為直角坐標方程為 x²+y²-8x+12=0，即（x-4）²+y²=4，
表示以（4，0）為圓心、半徑等于2的圓．
把直線l的參數方程

x=tcosα y=tsinα

代入圓的方程，可得 t²-8cosαt+12=0．
由韋達定理可得 t₁•t₂=12＞0，t₁+t₂=|OA|+|OB|=8cosα．
再由直線l的傾斜角為α，且tanα=

1

2

，可得cosα=

2 5

5

，∴|OA|+|OB|=8×

2 5

5

=

16 5

5

故答案為：

16 5

5

．

點評：本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法，參數的幾何意義，韋達定理的應用，屬于基礎題．