Question

【題目】已知數列{an}的前n項和 ，數列{bn}的前n項和為Bn ．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設 ，求數列{cn}的前n項和Cn；
（3）證明： ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n≥2時， ， ，

兩式相減：an=An﹣An﹣1=2n﹣1；

當n=1時，a1=A1=1，也適合an=2n﹣1，

故數列{an}的通項公式為an=2n﹣1

（2）解：由題意知： ，Cn=c1+c2+…+cn，

， ，

兩式相減可得： ，

即 ， ，

（3）解： ，顯然 ，

即bn＞2，Bn=b1+b2+…+bn＞2n

另一方面， ，

即 ， ， ， ，

即：2n＜Bn＜2n+2

【解析】（1）當n≥2時，利用an=An﹣An﹣1可得an=2n﹣1，再驗證n=1的情況，即可求得數列{an}的通項公式；（2）由題意知： ，利用錯位相減法即可求得數列{cn}的前n項和Cn；（3）利用基本不等式可得 ＞ ，可得Bn=b1+b2+…+bn＞2n；再由bn= ，累加可 ， 于是可證明： ．
【考點精析】關于本題考查的數列的通項公式，需要了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式才能得出正確答案．