【題目】已知數(shù)列{an},a1=a(a∈R),an+1= (n∈N*).
(1)若數(shù)列{an}從第二項起每一項都大于1,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)若a=﹣3,記Sn是數(shù)列{an}的前n項和,證明:Sn<n+ .
【答案】
(1)解:數(shù)列{an}從第二項起每一項都大于1,可得
當n≥2時,an+1= =2﹣ >2﹣ =1,
所以只需a2= >1,解得a>1或a<﹣2
(2)證明:由(1)可得,當n≥2時,an+1﹣1= ﹣1
= < = (an﹣1),
即有當n≥4時,an﹣1<(a3﹣1)( )n﹣3,
即有an<1+(a3﹣1)( )n﹣3=1+ ( )n﹣3,
此時Sn<﹣3+5+(1+ )+[1+ ( )]+…+[1+ ( )n﹣3]
=n+ =n+ [1﹣( )n﹣2]<n+ ,
易證,當n=1,2,3,Sn<n+ 成立.
綜上可得,對任意的正整數(shù)n,均有Sn<n+
【解析】(1)由題意可得當n≥2時,an+1= =2﹣ >2﹣ =1,所以只需a2= >1,解不等式即可得到所求范圍;(2)求得當n≥4時,an﹣1<(a3﹣1)( )n﹣3 , 即有an<1+(a3﹣1)( )n﹣3=1+ ( )n﹣3 , 運用等比數(shù)列的求和公式和不等式的性質(zhì),可得Sn<n+ ;再驗證n=1,2,3也成立.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解數(shù)列的前n項和的相關(guān)知識,掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系,以及對數(shù)列的通項公式的理解,了解如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示,那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2ax(a>0).
(1)當a=2時,解關(guān)于x的不等式﹣3<f(x)<5;
(2)對于給定的正數(shù)a,有一個最大的正數(shù)M(a),使得在整個區(qū)間[0,M(a)]上,不等式|f(x)|≤5恒成立.求出M(a)的解析式;
(3)函數(shù)y=f(x)在[t,t+2]的最大值為0,最小值是﹣4,求實數(shù)a和t的值.
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【題目】如圖給出的是計算的值的一個程序框圖,則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是( )
A.
B.i>1005
C.
D.i>1006
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【題目】已知函數(shù)f(x)=lnx﹣x.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若方程f(x)=m(m<﹣2)有兩個相異實根x1 , x2 , 且x1<x2 , 證明:x1x22<2.
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【題目】20世紀70年代,流行一種游戲﹣﹣﹣角谷猜想,規(guī)則如下:任意寫出一個自然數(shù)n,按照以下的規(guī)律進行變換:如果n是個奇數(shù),則下一步變成3n+1;如果n是個偶數(shù),則下一步變成 ,這種游戲的魅力在于無論你寫出一個多么龐大的數(shù)字,最后必然會落在谷底,更準確的說是落入底部的4﹣2﹣1循環(huán),而永遠也跳不出這個圈子,下列程序框圖就是根據(jù)這個游戲而設(shè)計的,如果輸出的i值為6,則輸入的n值為( )
A.5
B.16
C.5或32
D.4或5或32
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C1的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)).以坐標原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C2的極坐標方程為ρ=2cosθ. (Ⅰ)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程;
(Ⅱ)求C1與C2交點的極坐標(ρ≥0,0≤θ<2π).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項和 ,數(shù)列{bn}的前n項和為Bn .
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè) ,求數(shù)列{cn}的前n項和Cn;
(3)證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】非零向量 , 的夾角為 ,且滿足| |=λ| |(λ>0),向量組 , , 由一個 和兩個 排列而成,向量組 , , 由兩個 和一個 排列而成,若 + + 所有可能值中的最小值為4 2 , 則λ= .
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