Question

已知正三棱錐S-ABC，SA=4，AB=6，SO⊥面ABC．
（1）求高SO，斜高SD；
（2）求S-ABC表面積與體積；
（3）求側(cè)棱SA與面ABC所成角的正切值；
（4）求二面角S-BC-A的正弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由題意，O為△ABC的中心求出AO，DO，即可求高SO，斜高SD；
（2）利用表面積與體積，即可求S-ABC表面積與體積；
（3）∠SAO為側(cè)棱SA與面ABC所成角，即可求側(cè)棱SA與面ABC所成角的正切值；
（4）∠SDA為二面角S-BC-A的平面角，即可求二面角S-BC-A的正弦值．

解答： 解：（1）由題意，O為△ABC的中心，∵AB=6，
∴AO=2

3

，DO=

3

，
∵SA=4，∴SO=2，
∴SD=

7

；
（2）S-ABC表面積為

3

4

•62+3•

1

2

•6•

7

=9

3

+9

7

；
體積為

1

3

•

3

4

•62•2=6

3

；
（3）∠SAO為側(cè)棱SA與面ABC所成角，正切值為

SO

AO

=

3

3

；
（4）∠SDA為二面角S-BC-A的平面角，正弦值為

SO

SD

=

2

7

=

2 7

7

．

點評：本題考查三棱錐的表面積與體積的計算，考查線面角、面面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．