Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且方程f（x）=x有兩相等的實數(shù)根1．
（1）若f（0）=2，求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[-2，2]的最小值（用a表示）；
（3）當a＞0時，若g（x）=f（x）+|x-a|+（2a-1）x，求g（x）在[1，2]上的最小值．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）利用韋達定理得出方程組直接求出即可；（2）求出函數(shù)的對稱軸，對a進行討論從而綜合得出結(jié)論；（3）通過討論a的取值范圍綜合得出答案．

解答： 解：（1）若方程f（x）=x有兩相等的實數(shù)根1
可得

1+1= 1-b a 1×1= c a

，
故

b=1-2a c=a

；
又f（0）=2故c=2∴a=2，b=-3∴f（x）=2x²-3x+2；
（2）∵f（x）=ax²+（1-2a）x+a，
∴對稱軸為x=1-

1

2a

，
當a＜0時，二次函數(shù)的圖象開口向下，
f（-2）=9a-2，f（2）=a+2，
f（-2）-f（2）=8a-4＜0，
∴f（x）_min=f（-2）=9a-2；
當a＞0時，1-

1

2a

＜2，
又∵二次函數(shù)的開口向上
故當1-

1

2a

＜-2時，
即0＜a＜

1

6

時，f（x）在[-2，2]為減函數(shù)
∴f（x）_min=f（-2）=9a-2，
當1-

1

2a

≥-2時，
即a≥

1

6

時，f（x）在[-2，2]為先減后增函數(shù)
∴f(x)min=f(1-

1

2a

)=1-

1

4a

，
綜上所述∴f(x)min=

9a-2，a＜ 1 6 且a≠0 1- 1 4a ，a≥ 1 6

；
（3）g（x）=f（x）+|x-a|+（2a-1）x
=ax²+|x-a|+a
=

ax2+x，x≥a ax2-x+2a，x＜a

，
當a≤1時，g（x）=ax²+x在[1，2]為增函數(shù)，
故g（x）_minx=g（1）=a+1；
當a≥2時，g（x）=ax²-x+2a在[1，2]為增函數(shù)，
g（x）_minx=g（1）=3a-1；
當1＜a＜2時，g(x)=

ax2+x，2≥x≥a ax2-x+2a，1≤x＜a

當1≤x＜a時，g（x）=ax²+x在[1，a]為增函數(shù)，
故g（x）_minx=g（1）=a+1
當a＜x≤2時，g（x）=ax²-x+2a在[a，2]為增函數(shù)，
g(x)minx=g(a)=a3+a
又a³+a-（a+1）=a³-1＞0，
∴g（x）_minx=a+1
綜上所述：g(x)minx=

a+1，0＜a≤2 3a-1，a＞2

．

點評：本題考察了二次函數(shù)的性質(zhì)，求函數(shù)解析式問題，求函數(shù)的最值問題，滲透了分類討論思想，本題有一定的難度．