Question

【題目】已知函數(shù)，，（常數(shù)且）.

（Ⅰ）當(dāng)與的圖象相切時(shí)，求的值；

（Ⅱ）設(shè)，若存在極值，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(I) (Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)為，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出a的值；（Ⅱ）由題得，再對(duì)a分類(lèi)討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)極值情況得到的取值范圍.

解：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)為，，

所以過(guò)點(diǎn)的切線方程為，即，

所以，解得.

（Ⅱ）依題意，，，

當(dāng)a＞0時(shí)，令，則，

令，，令，，

所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.

若存在極值，則，即，

又時(shí)，，

所以，時(shí)，

在存在零點(diǎn)，且在左側(cè)，在右側(cè)，

即存在變號(hào)零點(diǎn).

當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.

若存在極值，則，即，

又時(shí)，，

所以，時(shí)，

在存在零點(diǎn)，且在左側(cè)，在右側(cè)，

即存在變號(hào)零點(diǎn).

所以，若存在極值，.