【題目】四棱錐中,底面為平行四邊形,側面 ,分別是的中點,已知,,,.
(Ⅰ)證明:平面;
(Ⅱ)證明:;
(Ⅲ)求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】(I)證明見解析;(II)證明見解析;(III) .
【解析】
(I)取中點,連結,可證明平面,平面,可得平面平面,由面面平行的性質可得結果;(II)作,垂足為,連結,由面面垂直的性質可得,由等腰直角三角形的性質可得,可得平面,從而可得結果;(III)求出 ,的面積,的面積,設到平面的距離為,由, 可得,進而可得結果.
(I)取中點,連結,
分別是的中點,底面平行四邊形,
,
因為平面平面,
平面平面,
平面,平面,
又因為
平面平面,
平面,
平面;
(II)作,垂足為,連結,
側面底面,
底面,所以,
,
又,故為等腰直角三角形,.
平面,,即.
(III)由(II)可知,故,由,可得,
的面積,
連接,得的面積,
設到平面的距離為,
由,得,解得,
設與平面成的角為,
則,直線與平面成的角的正弦值為.
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【題目】已知拋物線的焦點恰好是橢圓的右焦點.
(1)求實數(shù)的值及拋物線的準線方程;
(2)過點任作兩條互相垂直的直線分別交拋物線于、和、點,求兩條弦的弦長之和的最小值.
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【題目】如圖,四邊形PDCE為矩形,四邊形ABCD為梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,,,若M為PA的中點,PC與DE交于點N.
(1)求證:AC∥面MDE;
(2)求證:PE⊥MD;
(3)求點N到平面ABM的距離.
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【題目】一年之計在于春,一日之計在于晨,春天是播種的季節(jié),是希望的開端.某種植戶對一塊地的個坑進行播種,每個坑播3粒種子,每粒種子發(fā)芽的概率均為,且每粒種子是否發(fā)芽相互獨立.對每一個坑而言,如果至少有兩粒種子發(fā)芽,則不需要進行補播種,否則要補播種.
(1)當取何值時,有3個坑要補播種的概率最大?最大概率為多少?
(2)當時,用表示要補播種的坑的個數(shù),求的分布列與數(shù)學期望.
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【題目】已知圓心在軸上的圓與直線切于點、圓.
(1)求圓的標準方程;
(2)已知,圓于軸相交于兩點(點在點的右側)、過點任作一條傾斜角不為0的直線與圓相交于兩點、問:是否存在實數(shù),使得?若存在,求出實數(shù)的值,若不存在,請說明理由、
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【題目】如圖,在平面直角坐標系中,橢圓 ()的短軸長為2,橢圓上的點到右焦點距離的最大值為.過點作斜率為的直線交橢圓于,兩點(,),是線段的中點,直線交橢圓于,兩點.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)若,,求的值;
(3)若存在直線,使得四邊形為平行四邊形,求的取值范圍.
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