【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,四邊形ABCD是菱形,AC=2,BD=2 ,且AC,BD交于點(diǎn)O,E是PB上任意一點(diǎn).
(1)求證:AC⊥DE
(2)已知二面角A﹣PB﹣D的余弦值為 ,若E為PB的中點(diǎn),求EC與平面PAB所成角的正弦值.
【答案】
(1)證明:因?yàn)镈P⊥平面ABCD,所以DP⊥AC,
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形,所以BD⊥AC,
又BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD,
因?yàn)镈E平面PBD,∴AC⊥DE.
(2)解:連接OE,在△PBD中,EO∥PD,
所以EO⊥平面ABCD,分別以O(shè)A,OB,OE所在直線為x軸,y軸,z軸,
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)PD=t,則A(1,0,0),B(0, ,0),C(﹣1,0,0),
E(0,0, ),P(0,﹣ ,t),
設(shè)平面PAB的一個(gè)法向量為 =(x,y,z),
則 ,令y=1,得 =( ,1, ),
平面PBD的法向量 =(1,0,0),
因?yàn)槎娼茿﹣PB﹣D的余弦值為 ,
所以|cos< , >|= = ,
所以t=2 或t=﹣2( 舍)
P(0,﹣ ,2 ),E(0,0,1), =( ,1,1),
=(﹣1,0,﹣ )
∴sinθ=| |= ,
∴EC與平面PAB所成角θ的正弦值為 .
【解析】(1)由PD垂直面ABCD,可得PD⊥BD,根據(jù)底面ABCD為菱形,可得到AC⊥BD,即可得到AC⊥面PBD,從而得到AC⊥DE,(2)連接OE,在△PBD中,EO∥PD,所以EO⊥平面ABCD,分別以O(shè)A,OB,OE所在直線為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,利用法向量法即可得出結(jié)果.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和空間角的異面直線所成的角的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);已知為兩異面直線,A,C與B,D分別是上的任意兩點(diǎn),所成的角為,則才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有女子善織,日益功,疾,初日織五尺,今一月織九匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),問日益幾何?”其意思為:“有一女子擅長(zhǎng)織布,每天比前一天更加用功,織布的速度也越來越快,從第二天起,每天比前一天多織相同量的布,第一天織5尺,一月織了九匹三丈,問每天增加多少尺布?”若一個(gè)月按31天算,記該女子一個(gè)月中的第n天所織布的尺數(shù)為an , 則 的值為( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=1,AA1=2,點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則三棱錐P﹣ABC的正視圖與俯視圖的面積之比的最大值為( )
A.1
B.2
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 下列四個(gè)命題:
①f(f(1))>f(3); ② x0∈(1,+∞),f'(x0)=-1/3;
③f(x)的極大值點(diǎn)為x=1; ④ x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≤1
其中正確的有(寫出所有正確命題的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線C:mx2+ny2=1,(m>0,n<0)的一條漸近線與圓x2+y2﹣6x﹣2y+9=0相切,則雙曲線C的離心率等于( 。
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=cos(2x﹣ )+2cos2x,將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移 個(gè)單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則函數(shù)y=g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是( 。
A.(﹣ ,1)
B.(﹣ ,1)
C.( ,1)
D.( ,0)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù),﹣π<α<0),曲線C2的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),以O(shè)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.
(1)求曲線C1的極坐標(biāo)方程和曲線C2的普通方程;
(2)射線θ=﹣ 與曲線C1的交點(diǎn)為P,與曲線C2的交點(diǎn)為Q,求線段PQ的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知奇函數(shù)y=f(x)定義域是R,當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x(1﹣x).
(1)求出函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)寫出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.(不用證明,只需直接寫出遞增區(qū)間即可)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)直線 是函數(shù)f(x)=sinx+acosx的圖象的一條對(duì)稱軸.
(1)求函數(shù)f(x)的最大值及取得最大值時(shí)x的值;
(2)求函數(shù)f(x)在[0,π]上的減區(qū)間.
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