Question

如圖，在五面體中，四邊形是正方形，平面∥

（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）證明：平面；
（3）求二面角的正切值。

Answer 1

（1）；（2）略；（3）。

試題分析：（1）因?yàn)樗倪呅蜛DEF是正方形，所以FA∥ED．
故∠CED為異面直線CE與AF所成的角．
因?yàn)镕A⊥平面ABCD，所以FA⊥CD．故ED⊥CD．
在Rt△CDE中，CD=1，ED=2， CE==3，故cos∠CED==．
所以異面直線CE和AF所成角的余弦值為。
（2）證明：過點(diǎn)B作BG∥CD，交AD于點(diǎn)G，
則∠BGA=∠CDA=45°．由∠BAD=45°，可得BG⊥AB，
從而CD⊥AB，又CD⊥FA，F(xiàn)A∩AB=A，所以CD⊥平面ABF；
（3）解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G為AD的中點(diǎn)．
取EF的中點(diǎn)N，連接GN，則GN⊥EF，
因?yàn)锽C∥AD，所以BC∥EF．
過點(diǎn)N作NM⊥EF，交BC于M，
則∠GNM為二面角B-EF-A的平面角．
連接GM，可得AD⊥平面GNM，故AD⊥GM．
從而BC⊥GM．由已知，可得GM=．
由NG∥FA，F(xiàn)A⊥GM，得NG⊥GM．
在Rt△NGM中，tan∠GNM=，
所以二面角B-EF-A的正切值為．
點(diǎn)評(píng)：中檔題，立體幾何問題的解法，要牢記“轉(zhuǎn)化與化歸思想”，空將間題轉(zhuǎn)化成平面問題.立體幾何中的計(jì)算問題，要注意遵循“一作，二證，三計(jì)算”，避免出現(xiàn)只算不證的錯(cuò)誤。