Question

【題目】設(shè)函數(shù)

（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（II）若，求證：時，.

Answer 1

【答案】（I）當(dāng)時，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（II）見詳解

【解析】

（I）采用分類討論的方法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，可得結(jié)果.

（II）構(gòu)建新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，并求最小值，與0比較大小，可得結(jié)果.

解：（I）

若時，則，

f（x）在上單調(diào)遞減；

若時，令解得：

當(dāng)時，

則，f（x）單調(diào)遞減；

當(dāng)時，

則，f（x）單調(diào)遞增；

綜上所述，

當(dāng)時，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為

當(dāng)時，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，

單調(diào)減區(qū)間為

（II）當(dāng)時，要證，

即證，

亦即證

令，則

由指數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)知：

在上是增函數(shù)

，，

在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，

也即在上有唯一零點(diǎn)

設(shè)的零點(diǎn)為，

則，即，

由的單調(diào)性知：

當(dāng)時，

，h（x）為減函數(shù)，

當(dāng)時，

，h（x）為增函數(shù)，

所以當(dāng)，時，

，即.