【題目】如圖,在圓內(nèi)接等腰梯形中,已知,對角線、交于點,且圖中各條線段長均為正整數(shù),,圓的半徑.
(1)求證:圖中存在一個三角形,其三邊長均為質(zhì)數(shù)且組成等差數(shù)列;
(2)若給圖中的線(包括圓、梯形、梯形的對角線)作點染色,使、、染上紅色,其他點染上紅藍色之一,求證:圖中存在三個同色點,兩兩距離相等且長度為質(zhì)數(shù).
【答案】(1)見解析;(2)見解析
【解析】
(1)在中,,外接圓半徑為.由正弦定理得
.
在中,由,,知為最長邊.故、只能取之間的整數(shù),即,,,,,.
在中,應用余弦定理得 .
把、的可能取值代入驗證知、只能取3、5.故存在,其三邊長3、5、7均為質(zhì)數(shù),且組成一個公差為2的等差數(shù)列.
(2)在圓內(nèi)接等腰梯形中,對用外角定理、圓周角定理得
.
從而,、均為正三角形.
又由,有.
故的三邊長為,,,是邊長為3的正三角形,是邊長為5的正三角形.
以為底邊作等腰.
由,知是邊長為7的正三角形.
同理,可作邊長為7的正.
如圖,聯(lián)結(jié)交于點,再聯(lián)結(jié)、、.易得.
從而,
從而,.
又,得是邊長為3的正三角形.
進而,,,
是邊長為的正三角形.
當、、中有紅點時,、、中存在三頂點同為紅色的正三角形,其邊長為質(zhì)數(shù)3、5、7之一,命題已成立.
當、、中無一為紅點時,考慮點.
(1)為藍點,則是三頂點同為藍色的正三角形,其邊長為質(zhì)數(shù)3.
(2)為紅點,考慮點,若點為紅點,則是三頂點同為紅色的正三角形,其邊長為質(zhì)數(shù)5;若點為藍點,則是三頂點同為藍色的正三角形,其邊長為質(zhì)數(shù)7.
綜上,圖中總存在三個同色點,兩兩距離相等且長度為質(zhì)數(shù)3、5、7之一.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】一輛單向行駛的汽車,滿載為25人,全程共設(shè)14個車站,途中每個車站均可上下乘客,由不同的起點到達不同的終點的乘客應購買不同的車票,在一次單程行駛中,車上最多賣出不同的車票的個數(shù)是( )
A.63B.65C.67D.69
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【題目】設(shè).求最小的正整數(shù)n,使得對A的任意11個子集,只要它們中任何5個的并的元素個數(shù)都不少于n,則這11個子集中一定存在3個,它們的交非空.
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【題目】[選修4-4:坐標系與參數(shù)方程]
已知曲線的極坐標方程為.以極點為原點,極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程;
(2)求直線被曲線所截得的弦長.
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【題目】(1)求證:正三角形各頂點到其外接圓上任一切線的距離之和為定值;
(2)猜想空間命題“正四面體各頂點到其外接球的任一切面的距離之和為定值”是否成立?證明你的結(jié)論.注:與球只有一個公共點的平面叫做球的切面,這個公共點叫做切點,切點與球心的連線垂直于切面.
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【題目】某大型商場的空調(diào)在1月到5月的銷售量與月份相關(guān),得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷量(百臺) | 0.6 | 0.8 | 1.2 | 1.6 | 1.8 |
(1)經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)1月到5月的銷售量可用線性回歸模型擬合該商場空調(diào)的月銷量(百件)與月份之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程,并預測6月份該商場空調(diào)的銷售量;
(2)若該商場的營銷部對空調(diào)進行新一輪促銷,對7月到12月有購買空調(diào)意愿的顧客進行問卷調(diào)查.假設(shè)該地擬購買空調(diào)的消費群體十分龐大,經(jīng)過營銷部調(diào)研機構(gòu)對其中的500名顧客進行了一個抽樣調(diào)查,得到如下一份頻數(shù)表:
有購買意愿對應的月份 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
頻數(shù) | 60 | 80 | 120 | 130 | 80 | 30 |
現(xiàn)采用分層抽樣的方法從購買意愿的月份在7月與12月的這90名顧客中隨機抽取6名,再從這6人中隨機抽取3人進行跟蹤調(diào)查,求抽出的3人中恰好有2人是購買意愿的月份是12月的概率.
參考公式與數(shù)據(jù):線性回歸方程,其中,.
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【題目】《九章算術(shù)》卷第五《商功》中,有“賈令芻童,上廣一尺,袤二尺,下廣三尺,袤四尺,高一尺!,意思是:“假設(shè)一個芻童,上底面寬1尺,長2尺;下底面寬3尺,長4尺,高1尺(如圖)!保ㄗⅲ浩c童為上下底面為相互平行的不相似長方形,兩底面的中心連線與底面垂直的幾何體),若該幾何體所有頂點在一球體的表面上,則該球體的表面積為( )
A. 平方尺 B. 平方尺 C. 平方尺 D. 平方尺
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【題目】在直角坐標系中,,以為邊在軸上方作一個平行四邊形,滿足.
(1)求動點的軌跡方程;
(2)將動點的軌跡方程所表示的曲線向左平移個單位得曲線,若是曲線上的一點,當時,記為點到直線距離的最大值,求的最小值.
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【題目】蚌埠市某中學高三年級從甲(文)、乙(理)兩個科組各選出名學生參加高校自主招生數(shù)學選拔考試,他們?nèi)〉玫某煽兊那o葉圖如圖所示,其中甲組學生的平均分是,乙組學生成績的中位數(shù)是.
(1)求和的值;
(2)計算甲組位學生成績的方差;
(3)從成績在分以上的學生中隨機抽取兩名學生,求甲組至少有一名學生的概率.
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