【題目】設(shè).求最小的正整數(shù)n,使得對(duì)A的任意11個(gè)子集,只要它們中任何5個(gè)的并的元素個(gè)數(shù)都不少于n,則這11個(gè)子集中一定存在3個(gè),它們的交非空.

【答案】22

【解析】

n的最小值為22.

首先證明:.令,,

,

顯然,,,,

于是,對(duì)其中任何三個(gè)子集,必有兩個(gè)同時(shí)為或者同時(shí)為,其交為空集.對(duì)其中任何五個(gè)子集

,且任何三個(gè)子集的交為空集,故

其次證明:符合條件.假定存在A11個(gè)子集,它們中任何五個(gè)的并不少于22個(gè)元素,而任何三個(gè)的交都為空集.因每個(gè)元素至多屬于兩個(gè)子集,不妨設(shè)每個(gè)元素恰好屬于兩個(gè)子集(否則,在一些子集中添加一些元素,上述條件仍然成立).由抽屜原理,此11個(gè)子集中必有一個(gè)子集(設(shè)為B)至少含有個(gè)元素.又設(shè)其他10個(gè)子集為,那么,不含B的任何五個(gè)子集,都對(duì)應(yīng)A中的至少22個(gè)元素,所有不含B5—子集組一共至少對(duì)應(yīng)個(gè)元素.

另一方面,對(duì)于元素a,若,則中有兩個(gè)含有a,于是,a被計(jì)算了次;若,則中有一個(gè)含有a,于是,a被計(jì)算了次.從而,

由此可得,矛盾.

綜上所述,n的最小值為22.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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;該幾何體外接球的表面積為

GEC中點(diǎn),則平面AEF

的最小值為3.

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(1)從參加問(wèn)卷調(diào)查的6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名,求這2名學(xué)生來(lái)自同一小組的概率;

(2)從參加問(wèn)卷調(diào)查的6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名,用表示抽得“表演社”小組的學(xué)生人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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(1)求證:圖中存在一個(gè)三角形,其三邊長(zhǎng)均為質(zhì)數(shù)且組成等差數(shù)列;

(2)若給圖中的線(包括圓、梯形、梯形的對(duì)角線)作點(diǎn)染色,使、染上紅色,其他點(diǎn)染上紅藍(lán)色之一,求證:圖中存在三個(gè)同色點(diǎn),兩兩距離相等且長(zhǎng)度為質(zhì)數(shù).

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(1)請(qǐng)根據(jù)直方圖中的數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表,并通過(guò)計(jì)算判斷是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為課外體育達(dá)標(biāo)與性別有關(guān)?

課外體育不達(dá)標(biāo)

課外體育達(dá)標(biāo)

合計(jì)

60

110

合計(jì)

(2)現(xiàn)按照課外體育達(dá)標(biāo)課外體育不達(dá)標(biāo)進(jìn)行分層抽樣,抽取8人,再?gòu)倪@8名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人參加體育知識(shí)問(wèn)卷調(diào)查,記課外體育不達(dá)標(biāo)的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式:

P(K2≥k0)

0.15

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

k0

2.072

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

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