定義域?yàn)閇a，b]的函數(shù)y=f（x）的圖象的兩個(gè)端點(diǎn)A、B，M（x，y）是f（x）圖象上任意一點(diǎn)，其中x=λa+（1-λ）b（λ∈R），向量
ON
=λ
OA
+（1-λ）
OB
，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若不等式|
MN
|≤k恒成立，則稱函數(shù)f（x）在[a，b]上“k階線性近似”．若函數(shù)y=x+
1
x
在[1，2]上“k階線性近似”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（　　）
A、[0，+∞）
B、[1，+∞）
C、[
3
2
-
2
，+∞）
D、[
3
2
+
2
，+∞）
考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義
專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,平面向量及應(yīng)用
分析：根據(jù)已知條件可求出A（1，2），B(2，
5
2
)，并且可求出直線AB的方程為y=
1
2
(x+3)，求出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，容易發(fā)現(xiàn)橫坐標(biāo)相同，并根據(jù)已知條件知N點(diǎn)在直線AB上，所以得到|
MN
|=|
x
2
+
1
x
-
3
2
|．可通過導(dǎo)數(shù)的方法求得
x
2
+
1
x
的范圍為[
2
，
3
2
]，所以便得到|
MN
|=
3
2
-(
x
2
+
1
x
)≤
3
2
-
2
，所以只需k≥
3
2
-
2
．
解答： 解：由題意知a=1，b=2，所以A（1，2）B(2，
5
2
)；
∴直線AB的方程為y=
1
2
(x+3)；
∵xM=λ+2（1-λ）=2-λ；
ON
=λ(1，2)+(1-λ)(2，
5
2
)=(2-λ，
5
2
-
λ
2
)；
∴M，N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，且點(diǎn)N在直線AB上；
∴|
MN
|=|yM-yN|=|x+
1
x
-
1
2
(x+3)|=|
x
2
+
1
x
-
3
2
|；
∵
x
2
+
1
x
≥2
x
2
•
1
x
=
2
，
x
2
+
1
x
≤
3
2
；
∴|
MN
|=
3
2
-(
x
2
+
1
x
)≤
3
2
-
2
；
∴要使|
MN
|≤k恒成立，則k≥
3
2
-
2
；
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為[
3
2
-
2
，+∞]．
故選C．
點(diǎn)評：考查直線的點(diǎn)斜式方程，向量坐標(biāo)的加法及數(shù)乘運(yùn)算，根據(jù)
ON
=λ
OA
+(1-λ)
OB
可判斷出點(diǎn)N，A，B共線，以及對k階線性近似概念的理解與運(yùn)用，基本不等式．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知tanθ=2，求
sin(θ-6π)+sin(
π
2
-θ)
2sin(π+θ)+cos(-θ)
的值；
（2）已知-
π
2
＜x＜
π
2
，sinx+cosx=
1
5
，求tanx的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
x2+a，x＞2
x+a2，x≤2
，若對于任意實(shí)數(shù)b，關(guān)于x的方程f（x）=b在R上恒有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

求凼數(shù)y=（sinx+a）（cosx+a）（0＜a≤
2
）的最值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a2=b2+c2+bc，a=
3
，S為△ABC的面積，圓O是△ABC的外接圓，P是圓 O上一動點(diǎn)，當(dāng)S+
3
cosBcosC取得最大值時(shí)，
PA
•
PB
的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=ex．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）-x的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若不等式g（x）＜
x-m
x
在（0．+∞）上有解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）證明：函數(shù)y=f（x）和y=g（x）在公共定義域內(nèi)，g（x）-f（x）＞2．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知常數(shù)α＞0，β＞0，函數(shù)f（x）=
α+βln(1+x)
x
，且函數(shù)f（x）在區(qū)間[e-1，e2-1]上滿足
3
e+1
≤（e-1）f（x）≤2．
（1）求常數(shù)α，β 值；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=
k
1+x
，求最大的正整數(shù)k，使得對任意的正數(shù)c，存在實(shí)數(shù)a，b滿足-1＜a＜b＜c，且f（c）=f（a）=g（b）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，記曲線y=2x-
m
x
．（m∈R，m≠-2）在x=1處的切線為直線l，若直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12，則m的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知
a
=（sin
4θ
3
，cos
4θ
3
），
b
=（-sin
2θ
3
，cos
2θ
3
），且θ∈[0，
π
3
]．
（1）求
a
•
b
|
a
+
b
|
的最值； 
（2）若|k
a
+
b
|=
3
|
a
-k
b
|（k∈R），求k的取值范圍．

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同步練習(xí)冊答案