Question

19．點P是在△ABC所在平面上一點，若$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{PC}$•$\overrightarrow{PA}$，AB=2，AC=3，∠A=60°．存在實數(shù)λ，μ，使$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，則（　�。�

• A． λ=$\frac{2}{3}$，μ=$\frac{1}{9}$
• B． λ=$\frac{1}{3}$，μ=$\frac{2}{9}$
• C． λ=$\frac{2}{3}$，μ=$\frac{1}{3}$
• D． λ=$\frac{2}{3}$，μ=$\frac{2}{9}$

Answer 1

分析 根據(jù)條件可知P為三角形ABC的垂心，以AC為x軸，AC邊上的高為y軸建立平面直角坐標系，求出P的坐標，根據(jù)平面向量的基本定理列方程組解出λ，μ．

解答 解：∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$，∴（$\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PC}$）$•\overrightarrow{PB}$=0，即$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{PB}=0$，∴CA⊥PB．
同理可得：CB⊥PA，AB⊥PC．
∴P為△ABC的垂心．
以AC為x軸，AC邊上的高為y軸建立平面直角坐標系，
則A（-1，0），B（0，$\sqrt{3}$），C（2，0）．設P（0，a），
則$\overrightarrow{AP}$=（1，a），$\overrightarrow{AB}$=（1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（3，0）.$\overrightarrow{BC}$=（2，-$\sqrt{3}$）．
∵$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{BC}=0$，∴2-$\sqrt{3}a$=0，解得a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，∴$\overrightarrow{AP}$=（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．
∵$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{λ+3μ=1}\\{\sqrt{3}λ=\frac{2\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，解得$λ=\frac{2}{3}$，μ=$\frac{1}{9}$．
故選：A．

點評 本題考查了平面向量的基本定理，向量垂直與數(shù)量積的關系，屬于中檔題．